Ursprung des Integrals des Feldstärketensors in der pfadgeordneten Exponentialfunktion in der Eichfeldtheorie

Question

Ursprung des Integrals des Feldstärketensors in der pfadgeordneten Exponentialfunktion in der Eichfeldtheorie

Gold

Beim Studium einiger Ansätze von Eichtheorien zu Problemen in der Mechanik habe ich das folgende Integral gefunden

P \exp [\oint A D T] = 1 + \frac{1}{2} \oint_{\partial D} \sum_{μ, v} F_{μ v} γ^{μ} (T) {\dot{γ}}^{v} (T) D T,

$P\exp\left[\oint A \ dt\right]=1+\dfrac{1}{2}\oint_{\partial D}\sum_{\mu,\nu}F_{\mu\nu}\gamma^{\mu}(t) \dot{\gamma}^{\nu}(t)dt,$

Wo $A$ ist das Eichpotential, und $F$ ist der Feldstärketensor (dh das Zurückziehen der Krümmungsform zwei durch eine bestimmte Wahl der Eichkarte). Dieses Integral erschien in den Artikeln (wie diesem auf Seite 564), die ich anscheinend zur Berechnung des pfadgeordneten Exponentials habe, aber ich konnte nicht verstehen, woher es kommt. Nach dieser Formel scheint es, dass wir uns über einen Weg integrieren, aber $F$ ist ein $2$ -form, also sollte es über a eingebunden werden $2$ -Kette.

Auf dem Artikel gibt es eine Ableitung, aber ich habe wirklich nicht verstanden, was sie getan haben, es scheint nicht sehr streng zu sein. Auch als ich Hauptfaserbündel und Verbindungen an diesen Bündeln untersuchte, sah ich dieses Integral nicht. Ich habe auch in einigen Mathebüchern gesucht und es nicht gefunden.

Also, woher kommt dieses Integral, was bedeutet es genau und in welcher Beziehung steht es zum pfadgeordneten Exponential?

QMechaniker

Mögliches Duplikat: physical.stackexchange.com/q/65639/2451

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Mögliches Duplikat: physical.stackexchange.com/q/65639/2451

FraSchelle · Answer 1

Es scheint, dass Sie nach folgendem fragen. Angenommen, man hat den Wilson-Operator

U (B, A) = P \exp [\frac{ich G}{ℏ} \int_{0}^{1} D z^{μ} (S) A_{μ} (z (S))]

$U\left(b,a\right)=P\exp\left[\dfrac{\mathbf{i}g}{\hbar}\int_{0}^{1}dz^{\mu}\left(s\right)A_{\mu}\left(z\left(s\right)\right)\right]$

mit $P$ der pfadgeordnete Operator, $A$ das Eichpotential (Verbindung 1-Form) und $z\left(s\right)$ der Pfad, entlang dem das Integral definiert ist, von $s=0$ Zu $s=1$ . Dann die infinitesimale Variation von $U$ in Bezug auf seine Endpunkte liest

δ U (B, A) = \frac{ich G}{ℏ} A (B) U (B, A) D B - \frac{ich G}{ℏ} U (B, A) A (A) D A - \frac{ich G}{ℏ} \int_{0}^{1} [U (B, z (S)) F_{μ v} (z (S)) U (z (S), X)] \frac{D z^{μ}}{D S} (\frac{D z^{v}}{D B^{λ}} D B^{λ} + \frac{D z^{v}}{D A^{λ}} D X^{λ}) D S

$\delta U\left(b,a\right)=\dfrac{\mathbf{i}g}{\hbar}A\left(b\right)U\left(b,a\right)db-\dfrac{\mathbf{i}g}{\hbar}U\left(b,a\right)A\left(a\right)da\\-\dfrac{\mathbf{i}g}{\hbar}\int_{0}^{1}\left[U\left(b,z\left(s\right)\right)F_{\mu\nu}\left(z\left(s\right)\right)U\left(z\left(s\right),x\right)\right]\dfrac{dz^{\mu}}{ds}\left(\dfrac{dz^{\nu}}{db^{\lambda}}db^{\lambda}+\dfrac{dz^{\nu}}{da^{\lambda}}dx^{\lambda}\right)ds$

Wo $F_{\mu\nu}=\partial_{\mu}A_{\nu}-\partial_{\nu}A_{\mu}-\dfrac{\mathbf{i}g}{\hbar}\left[A_{\mu},A_{\nu}\right]$ die Eichfeldstärke. $g$ ist eine durchgehende Konstante, und $\hbar$ dient hier zur Dekoration.

Die obige Formel wird in demonstriert

J. Winter, Kovariante Erweiterung der Wigner-Transformation auf nicht-Abelsche Yang-Mills-Symmetrien für einen Vlasov-Gleichungsansatz für das Quark-Gluon-Plasma Le J. Phys. Kolloq. 45, C6.53 (1984) .
H.-T. Elze, M. Gyulassy und D. Vasak, Transportgleichungen für den Wigner-Operator des QCD-Quarks Nucl. Phys. B 276, 706 (1986) .

siehe auch

H. Weigert und U. Heinz, Kinetische Gleichungen für das Quark-Gluon-Plasma und ihre semiklassische Erweiterung Zeitschrift Für Phys. C-Teil. Felder 50, 195 (1991) .

Ich habe auch einige Anmerkungen zur Ableitung auf einfachere (quasi-heuristische) Weise, aber ich bin mir nicht sicher, ob es genau das ist, wonach Sie suchen. Es scheint, dass die Formel, die ich oben angegeben habe, Ihre enthält (es ist schwer zu erkennen, da Sie nicht einmal eine Gleichheit angegeben haben ...

danke für die antwort, ich habe die frage bearbeitet und die volle gleichheit gepostet.
Vielen Dank. Ich fürchte, Ihre Formel ist immer noch nicht korrekt. Es gilt nur bei der ersten Bestellung $F$ Ich denke, oder für klein $\gamma$ (nicht definiert). Dann, was Sie anrufen $t$ nenne ich $s$ , also sollte die Formel stimmen. Ich denke, sie tun es im Limit $U\approx 1$ gültig für einen kleinen Weg. Wie auch immer, $\delta U$ ist richtig. Ich habe den Beitrag seitdem bearbeitet $\delta U$ wurde nicht definiert.

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