Messen Sie Felder und Zeichenfolgen: Schleifengleichungen

1. Wir beginnen mit einer nicht-abelschen Eichtheorie. Die kovariante Ableitung ist

   $$D~=~\mathrm{d}+A, \qquad A~=~\mathrm{d}x^{\mu} A_{\mu},\tag{A}$$ während die Feldstärke ist $$\begin{align} \frac{1}{2}F_{\mu\nu}\mathrm{d}x^{\mu}\wedge\mathrm{d}x^{\nu} ~=~&F~=~D \wedge D\cr ~=~&\frac{1}{2}[D\stackrel{\wedge}{,}D]\cr ~=~&[\mathrm{d},A] + \frac{1}{2}[A\stackrel{\wedge}{,}A]\cr ~=~&\mathrm{d}A + A \wedge A, \end{align} \tag{6.35}$$ $$F_{\mu\nu}~=~\partial_{[\mu}A_{\nu]} + [A_{\mu},A_{\nu}]. \tag{6.36}$$

2. Betrachten Sie als nächstes eine nicht-abelsche Wilson-Linie$^1$

   $$U(t_2,t_1)~=~ \left\{\begin{array}{rcl} T\exp\left(-\int_{t_1}^{t_2}\! A\right)&{\rm for}& t_1\leq t_2,\cr AT\exp\left(-\int_{t_1}^{t_2}\! A\right)&{\rm for}& t_2\leq t_1,\end{array}\right. \tag{7.1'}$$ über eine (möglicherweise offene) Kurve$C$. Hier$(A)T$bezeichnet (Anti-)Zeitordnung . Nehmen wir das der Einfachheit halber von nun an an$t_1\leq t_2$. Dann dürfen wir schreiben $$U(C)~=~T\exp\left(-\int_C\! A\right) \tag{7.1'}$$ mit einer parametrisierten Kurve$C:[t_1,t_2]\to\mathbb{R}^4$.

   Die Wilson-Linie (7.1') ist die Lösung der folgenden ODE

   $$\begin{align} \frac{dU(t_2,t_1)}{dt_2} ~=~&-\dot{x}^{\mu}(t_2) A_{\mu}(t_2) U(t_2,t_1), \cr \frac{dU(t_2,t_1)}{dt_1} ~=~&U(t_2,t_1)\dot{x}^{\mu}(t_1) A_{\mu}(t_1),\cr U(t_1,t_1)~=~&{\bf 1}.\end{align}\tag{B}$$

3. Wir machen jetzt eine infinitesimale Variation der Kurve$C$zu einer neuen Kurve$C^{\prime}$. Die abwechslungsreiche Kurve$C^{\prime}$angenommen wird, die gleichen Endpunkte wie zu haben$C$, und das gleiche Parametrisierungsintervall$[t_1,t_2]$. Wir können eine infinitesimal dünne 2-Fläche definieren$\Sigma$mit orientierter Grenze

   $$\partial \Sigma~=~ C^{\prime}-C \tag{C}$$ durch die beiden Kurven gegeben$C$Und$C^{\prime}$. Dies induziert eine (passive) Änderung$\delta A$des Messfeldes$A$.

   NB: Beachten Sie, dass die 2 Seiten

   $$\int_{C}\! \delta A ~=~ \int_{C^{\prime}}\! A-\int_{C} \!A ~=~ \oint_{\partial\Sigma} \!A ~=~ \iint_{\Sigma}\! \mathrm{d} A \tag{D}$$ Und $$\iint_{\Sigma}\! F ~=~ \int_C\! \delta x^{\mu} F_{\mu\nu} \mathrm{d} x^{\nu} \tag{E}$$ des Zirkulationssatzes von Stokes sind für nicht-Abelsche Eichfelder nicht unbedingt gleich.$^2$

4. Die infinitesimale (passive) Veränderung in der Holonomie ist

   $$\begin{align} \delta U(C)~=~~~~&U(C^{\prime})-U(C)\cr ~\stackrel{(7.1')}{=}~~&-T\left[\exp\left(-\int_C\! A\right)\int_C\! \delta A\right]\cr ~\stackrel{(7.1')}{=}~~&-\int_{t_1}^{t_2}\! dt~U(t_2,t)\delta[\dot{x}^{\mu}(t)A_{\mu}(t)]U(t,t_1)\cr ~=~~~~&-\int_{t_1}^{t_2}\! dt~U(t_2,t)\left[\frac{d\delta x^{\mu}(t)}{dt}A_{\mu}(t)+\dot{x}^{\mu}(t)\delta A_{\mu}(t)\right]U(t,t_1)\cr ~\stackrel{\text{int. by parts}}{=}& \text{bulk terms} ~+~ \text{boundary terms},\end{align}\tag{F}$$ Wo $$\begin{align} \text{bulk}&\text{ terms}\cr ~=~&\int_{t_1}^{t_2}\! dt~U(t_2,t)\left[ \frac{\stackrel{\leftarrow}{d}}{dt}\delta x^{\mu}(t)A_{\mu}(t) +\delta x^{\mu}(t)\dot{A}_{\mu}(t)\right.\cr &\left. -\dot{x}^{\mu}(t)\delta A_{\mu}(t) +\delta x^{\mu}(t)A_{\mu}(t)\frac{\stackrel{\rightarrow}{d}}{dt} \right]U(t,t_1)\cr ~\stackrel{(B)}{=}~&\int_{t_1}^{t_2}\! dt~U(t_2,t)\left[ \dot{x}^{\nu}(t) A_{\nu}(t)\delta x^{\mu}(t)A_{\mu}(t) +\delta x^{\mu}(t)\dot{x}^{\nu}(t)\partial_{\nu}A_{\mu}(t)\right.\cr &\left. -\dot{x}^{\mu}(t)\delta x^{\nu}(t)\partial_{\nu} A_{\mu}(t) -\delta x^{\mu}(t)A_{\mu}(t)\dot{x}^{\nu}(t) A_{\nu}(t) \right]U(t,t_1)\cr ~\stackrel{(6.36)}{=}&\int_{t_1}^{t_2}\! dt~U(t_2,t) \dot{x}^{\mu}(t) F_{\mu\nu}(t)\delta x^{\nu}(t) U(t,t_1)\cr ~=~&T\left[\exp\left(-\int_C\! A\right) \int_C\! F_{\mu\nu}\mathrm{d}x^{\mu} \delta x^{\nu}\right] \cr ~\stackrel{(E)}{=}~&-T\left[\exp\left(-\int_C\! A\right) \iint_{\Sigma}\! F\right] ,\end{align}\tag{7.25'}$$
   Und $$\begin{align} \text{boundary terms}~=~&-\left[U(t_2,t)\delta x^{\mu}(t)A_{\mu}(t)U(t,t_1)\right]_{t=t_1}^{t=t_2}\cr ~=~& U(t_2,t_1)\delta x^{\mu}(t_1)A_{\mu}(t_1) -\delta x^{\mu}(t_2)A_{\mu}(t_2)U(t_2,t_1)\cr ~\stackrel{(H)}{=}~&0,\end{align}\tag{G}$$ da die Endpunkte nicht variiert werden $$\delta x^{\mu}(t_1)~=~0~=~\delta x^{\mu}(t_2).\tag{H}$$ Gl. (7.25') beantwortet OPs Hauptfrage zu Gl. (7.25). Die Minuszeichen werden durch unterschiedliche Vorzeichenkonventionen verursacht.

Verweise:

1. AM Polyakov, Gauge Fields and Strings, 1987; Kapitel 7.

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$^1$Eine Wilson-Linie ist Physik-Jargon für Holonomie . Wenn die Kurve$C$geschlossen ist, sprechen wir eher von einer Wilson-Schleife als von einer Wilson-Linie. Wir ziehen es vor, die Zeitreihenfolge statt der Pfadreihenfolge zu verwenden, da letztere mehrdeutig ist. Ref. 1. verwendet eine Pfadordnung $P$von links nach rechts,

$$\Psi(C)~:=~ P e^{\int_{C} \!A}, \tag{7.1}$$

was ein entgegengesetztes Vorzeichen vor dem Eichfeld induziert$A$im Vergleich zu Gl. (7.1').

$^2$Lassen Sie uns der Vollständigkeit halber erwähnen, dass es einen nicht-Abelschen Satz von Stokes gibt , der eine potenzierte Form annimmt

$$P\exp\oint_{\partial\Sigma} \! A~=~ P_2\exp\iint_{\Sigma}\! F. \tag{I}$$

Es hängt von der Auswahl der Oberflächenordnung ab$P_2$.

Betrachten Sie den nicht-abelschen Phasenfaktor um einen geschlossenen Pfad$C$,

$$\begin{equation} \psi(C) = \mathrm{P} e^{\oint A_\mu dx^\mu} = \mathrm{P} e^{\int_0^{2\pi} dt \, A_\nu(x(t)) \dot{x}^\nu(t) } \end{equation}$$ Nehmen wir die funktionale Ableitung nach $x^\mu(s)$ $$\begin{align} \frac{\delta}{\delta x^\mu(s)} \psi(C) %& = \int_0^{2\pi} dt \, \mathrm{P} \left[ \partial_\mu A_\nu(x(t))\delta(s-t)\dot{x}^\nu(t) + A_\nu (x(t))\delta^\nu_\mu \dot{\delta}(s-t) \right] e^{\int_0^{2\pi} dt \, A_\nu(x(t)) \dot{x}^\nu(t) } \\ & = \int_0^{2\pi} dt \, \left\{ \mathrm{P}e^{\int_0^{t} dt' \, A_\nu\dot{x}^\nu} \left[ \partial_\mu A_\nu(x(t))\delta(s-t)\dot{x}^\nu(t) + A_\mu (x(t))\dot{\delta}(s-t)\right] \mathrm{P}e^{\int_t^{2\pi} dt' \, A_\nu \dot{x}^\nu} \right\} \end{align}$$ Wir integrieren nun partiell die $t$-Ableitung der Delta-Funktion, $$\begin{align} \frac{\delta}{\delta x^\mu(s)} \psi(C) & = \int_0^{2\pi} dt \, \mathrm{P}e^{\int_0^{t} dt' \, A_\nu\dot{x}^\nu} \left(\partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu + [A_\mu, A_\nu]\right)_{x(t)} \dot{x}^\nu(t)\delta(s-t) \mathrm{P}e^{\int_t^{2\pi} dt' \, A_\nu\dot{x}^\nu} \notag \\ & \quad + \mathrm{P} e^{\int_0^{2\pi} dt A_\nu \dot{x}^\nu}A_\mu(x(2\pi))\delta(s-2\pi) - A_\mu(x(0))\mathrm{P} e^{\int_0^{2\pi} dt A_\nu \dot{x}^\nu}\delta(s) \\ & = \mathrm{P}e^{\int_0^{s} dt \, A_\nu\dot{x}^\nu} F_{\mu\nu}(x(s)) \dot{x}^\nu(s)\mathrm{P}e^{\int_s^{2\pi} dt \, A_\nu\dot{x}^\nu} \end{align}$$ wobei wir Randterme nach Periodizität verworfen haben.