Wie ein Physiker Eichfelder wahrnimmt

Es ist im Allgemeinen nicht richtig, dass eine Verbindung entsteht$A$auf dem Bündel steigt zu einer wohldefinierten Form auf allen ab$M$. Tatsächlich ist dies genau dann der Fall, wenn das Bündel trivial ist – da es einen globalen Abschnitt eines Hauptbündels gibt, um den wir uns zurückziehen können$A$impliziert das zwangsläufig$P$ist trivial.

Stattdessen jede Verbindungsform$A$steigt auf lokal ab $A_i\in\Omega^1(U_i,\mathfrak{g})$bei dem die$U_i$sind eine Abdeckung von$M$das bagatellisiert$P$, dh es gibt Abschnitte$s_i : U_i \to \pi^{-1}(U_i)\cong U_i\times G$mit$s_i(x) = (x,1)$und wir definieren$A_i := s_i^\ast A$. Zu den Übergangsfunktionen$t_{ij} : U_i \cap U_j \to G$, diese erfüllen

$$A_i = \mathrm{ad}_{t_{ij}}(A_j - t_{ij}^\ast \theta),$$ Wo $\theta$ist die Cartan-Maurer-Form oder, in einer gebräuchlicheren Schreibweise, $$A_i = t^{-1}_{ij}A_j t_{ij} - t_{ij}^{-1}\mathrm{d}t_{ij}.\tag{1}$$ Umgekehrt ist jedes System von $A_i$das diese Relationen erfüllt, definiert eine Verbindungsform auf $P$. Wenn das Bündel trivial ist, ist diese Beziehung leer, da wir nur on brauchen $U_i = M$, und wir stellen die behauptete Bijektion zwischen Verbindungsformen wieder her $P$Und $A\in\Omega^1(M,\mathfrak{g})$für diesen Sonderfall.

Nun ist eine Eichtransformation ein fasererhaltender Automorphismus$g : P\to P$das kommt auf lokale Funktionen an$g_i : U_i\to G$mit$g_i = g_j t_{ij}$, oder im trivialen Fall eine Funktion$g : M\to G$, die ähnlich wie die Übergangsfunktionen auf die lokalen Verbindungsformen wirken (aus diesem Grund hat die physikalische Literatur manchmal Schwierigkeiten, diese beiden Konzepte zu unterscheiden). Eine solche Transformation läuft darauf hinaus, in jeder Faser einen anderen Punkt zu wählen$\pi^{-1}(x) \cong G$als die Identität, was wir tun können, da die Faser eine Gruppenwirkung trägt, aber natürlicherweise selbst keine Gruppe ist und daher kein ausgezeichnetes Identitätselement hat.

Wenn Sie jetzt beachten, dass die Abschnitte$s_i$eine solche Wahl der Identität in ihre Definition aufzunehmen, dann können Sie sehen, dass wir eine solche Eichtransformation als Änderung der Abschnitte betrachten können, durch die wir die Verbindungsform definiert haben. Also der Physiker, dem die Verbindungsform normalerweise egal ist$P$aber über seine lokale Beschreibung auf der$U_i$, erklärt die$A_i$die durch solche Transformationen als äquivalent in Beziehung gesetzt werden, und Quotientieren aus dem Raum von$\Omega^1(U_i,\mathfrak{g})$mit der richtigen Transformationseigenschaft (oder äquivalent den Raum der Verbindungsformen quotieren$P$durch Eichtransformation$P\to P$) ergibt den Raum der Eichäquivalenzklassen .

Zusammenfassend beantworten wir die Frage also so: Ein Eichfeld ist eine Ansammlung lokaler Eichpotentiale$U_i \to \mathfrak{g}$mit der Kompatibilitätsbedingung (1), die in Bijektion zu Hauptverbindungen stehen$P$, aber physikalisch diejenigen, die durch eine Eichtransformation verwandt sind, werden als gleichwertig und im Wesentlichen nicht unterscheidbar erklärt.