Vektorpotential für Magnetfelder, wenn sich das Feld nicht in einer einfach verbundenen Region befindet

Du fragst

Was passiert, wenn der Bereich, in dem das Feld definiert ist, Löcher aufweist?

Nun, in diesem Fall können Sie das Vektorpotential auf einfach zusammenhängenden Teilgebieten definieren$R_i$dessen Schnittpunkt die gesamte nicht einfach zusammenhängende Region ist$R$ und derart, dass sie sich nur durch eine Eichtransformation in den Überlappungsbereichen unterscheiden. Dies ist eine physikalisch gut motivierte Sache, weil dadurch bis zur Eichtransformation das Vektorpotential definiert werden kann$R$.

Hier ist ein einfaches Beispiel. Lassen$\ell=\{(x,y,z)\,|\, x=0, y=0\}$bezeichnen die$z$-Achse, dann die Region$R=\mathbb R^2\setminus\ell$ist nicht einfach verbunden. Um dies zu sehen, betrachten Sie einfach eine geschlossene Schleife, die die Achse umschließt; Es gibt keine Möglichkeit, es während des Aufenthalts kontinuierlich auf einen Punkt zu verkleinern$R$. Aus diesem Grund gibt es keine$\mathbf A$auf allen definiert$R$. Allerdings lassen$\ell_+$bezeichnen das Positive$z$-Achse, und lassen$\ell_-$negativ bezeichnen$z$-Achse, dann die Regionen$R_- = \mathbb R^3\setminus \ell_+$Und$R_+ = \mathbb R^3\setminus \ell_-$haben die Eigenschaft, dass sie einfach miteinander verbunden sind und$R = R_+\cap R_-$. Außerdem können wir ein Vektorpotential definieren$\mathbf A_+$An$R_+$Und$\mathbf A_-$An$R_-$so dass es eine Skalarfunktion gibt$\Lambda$wofür

$$\begin{align} \mathbf A_+(\mathbf x) - \mathbf A_-(\mathbf x) = \nabla\Lambda(\mathbf x), \qquad \text{for all $\mathbf x\in R$} \end{align}$$ Tatsächlich sind hier die expliziten Ausdrücke in sphärischen Koordinaten $(r,\theta,\phi)$: $$\begin{align} \mathbf A_{\pm} &= -g\frac{\cos\theta\mp 1}{r\sin\theta}\hat{\boldsymbol \phi} \end{align}$$ Ich überlasse es Ihnen zu bestimmen $\Lambda$; Es ist eine lustige Übung.

welche körperlichen Folgen hat das?

Nun, im Kontext der Quantenmechanik sind diese Arten von topologischen Problemen physikalisch relevant (ich bin mir nicht sicher, ob es Beispiele gibt, in denen sie auf klassischer Ebene relevant sind, aber ich glaube nicht). Ich werde hier nicht auf die Details eingehen (es sei denn, es besteht vielleicht Bedarf), aber genau die Vektorpotentiale, die ich im obigen Beispiel aufgeschrieben habe, tauchen auf, wenn es um magnetische Monopole und die Quantisierung elektrischer Ladung geht (siehe Dirac-Quantisierung ).

Diese topologischen Fragen werden auch bei der Diskussion des berühmten Aharonov-Bohm-Effekts bedeutsam .

Das inverse quadratische Feld$-{\bf x}/r^3$hat die Divergenz 0 im Einfachzusammenhang$R^3$minus Ursprung, hat aber in dieser Region kein Vektorpotential. Wenn dies der Fall wäre, dann wäre sein Integral über eine am Ursprung zentrierte Kugel nach dem Stokes-Theorem 0, was nicht der Fall ist. „Einfach verbunden“ ist also nicht ganz das Richtige. Sie möchten, dass die Domain 2-verbunden ist. Das ist ausreichend.

Seltsamerweise hat es ein Vektorpotential in einem Bereich, der nicht einmal einfach verbunden ist:$(-yz,xz,0)/((x^2+y^2)\sqrt{x^2+y^2+z^2})$arbeitet ab$z$Achse.