Divergenzsatz, mathematischer Ansatz zum Gaußschen Gesetz?

Lassen D sei eine kompakte Region in R 3 mit glatter Grenze S . Annehmen 0 ∈ Int ( D ) . Wenn eine elektrische Ladung der Größenordnung Q liegt bei 0 , ist das resultierende Kraftfeld Q R → / R 3 , Wo R → ( X ) ist der Vektor zu einem Punkt X aus 0 Und R ( X ) ist seine Größenordnung. Zeigen Sie, dass die Höhe der Gebühr Q kann aus der Kraft an der Grenze durch Beweis des Gaußschen Gesetzes bestimmt werden:

∫ S F → ⋅ N → D A = 4 π Q .

Ich bin mit dem Ansatz in grundlegenden Lehrbüchern vertraut, aber ich wäre daran interessiert, eine Ableitung / einen Beweis in der Sprache der Differentialtopologie zu sehen.

Vorausgesetzt, dass "Differentialtopologie" meines Wissens kein mathematischer Standardbegriff ist, sollten Sie sich den Satz von Stokes für Differentialformen ansehen. Sobald Sie es verstanden haben, ist der Beweis einfach, beginnend mit dem ∇ ⋅ E = ϱ der Maxwellschen Gleichungen.
@yuggib es ist in der Tat ein Standardbegriff (siehe z. B. Milnors Buch Topology from the Differentiable Viewpoint ) und ja, das Stokes-Theorem ist der richtige Weg, es zu betrachten, wenn man schick sein will :)
Die Wikipedia-Seite zum Stokes-Theorem hat eine kurze Erklärung unter dem Abschnitt "Sonderfälle".
@Danu Ok, ich verstehe ... es ist eine verwendete Terminologie als Topologie von Funktionen auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten. Trotzdem ist es (meiner Meinung nach) nicht die beste semantische Wahl, denn es scheint, dass Sie in gewissem Sinne "Topologien unterscheiden". Es ist sowieso nur eine Frage des persönlichen Geschmacks ;-) Was die mathematische Phantasie angeht, scheint es genau das zu sein, was das OP gefragt hat ...
Wie Danu sagte, ist der Standpunkt der Differentialform durch den Satz von Stokes gegeben . Der Beweis des Satzes von Stokes ist jedoch keine physikalische Frage.

Antworten (1)

Zuerst werden wir rechnen div F . Die partiellen Ableitungen sind gegeben durch

∂ F ∂ X ich = Q ∂ ∂ X ich ( X ich R 3 ) = Q ( 1 R 3 − 3 R 2 X ich R X ich R 6 ) = 0.
Daher, div F = 0 weg vom Ursprung. Betrachten Sie nun einen Ball B des Radius R zentriert am Ursprung, der vollständig im Inneren von enthalten ist D . Dann
∫ B F ⋅ N D A = Q ∫ B R R 3 D A = Q R 2 ∫ B D A = 4 π R 2 Q R 2 = 4 π Q .
Betrachten Sie schließlich die Mannigfaltigkeit M bestehend aus dem Zwischenraum B Und D mit diesen als Grenze. Dann gilt nach dem Divergenzsatz
∫ B F ⋅ N D A − ∫ D F ⋅ N D A = ∫ M div F D v = 0 ⟹ ∫ D F ⋅ N D A = 4 π Q .

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