Wo wird der Indexsatz von Atiyah-Singer in der Physik verwendet?

Die Bewegungsgleichungen oder die Gleichungen von Instantonen oder Solitonen oder Einsteins Gleichungen oder so ziemlich alle Gleichungen in der Physik sind Differentialgleichungen. In vielen Fällen interessiert uns der Lösungsraum einer Differentialgleichung. Wenn wir die gesamte interessierende (möglicherweise nichtlineare) Differentialgleichung schreiben als$L(u) = 0,$wir können in der Nähe einer Lösung linearisieren$u_0,$dh schreiben$u = u_0 + v$und erweitern$L(u_0 + v) = 0 + L'|_{u_0}(v) + ... =: D(v)$eine lineare Gleichung aufzustellen$D(v)=0$in der Verdrängung$v.$

Eine lineare Differentialgleichung ist wie eine Matrixgleichung. Denken Sie daran, dass ein$n\times m$Matrix$M$ist eine Karte von$R^n$zu$R^m$, und$dim(ker(M)) - dim(ker(M^*)) = n-m,$unabhängig von der speziellen Matrix (oder der linearen Transformation, allgemeiner). Diese Zahl wird „Index“ genannt. In unendlichen Dimensionen sind diese Zahlen im Allgemeinen nicht endlich, aber oft (insbesondere bei elliptischen Differentialgleichungen) sind sie es und hängen nur von bestimmten "globalen" Informationen über die Räume ab, auf die sie wirken.

Der Indexsatz sagt Ihnen, was der Index eines linearen Differentialoperators ($D,$oben) ist. Sie können damit die Dimension des Lösungsraums der Gleichung berechnen$L(u)=0.$(Wenn der Lösungsraum eine Mannigfaltigkeit [eine andere Geschichte] ist, ist die Dimension die Dimension des Tangentenraums, den die Gleichung$D(v)=0$beschreibt.) Es sagt Ihnen nicht , was der tatsächliche Lösungsraum ist. Das ist eine schwierige, nichtlineare Frage.

Eric und andere haben gute Antworten darauf gegeben, warum man erwartet, dass der Indexsatz in verschiedenen physikalischen Systemen auftritt. Eine der frühesten und wichtigsten Anwendungen ist 't Hoofts Auflösung der$U(1)$Problem. Dies bezieht sich auf das Fehlen eines neunten Pseudo-Goldstone-Bosons (wie die Pionen und Kaonen) in der QCD, das man naiv von einer chiralen Symmetriebrechung erwarten würde. Die Entschließung besteht aus zwei Teilen. Die erste ist die Tatsache, dass die chirale$U(1)$ist anomal. Die zweite ist die Erkenntnis, dass es Konfigurationen endlicher Wirkung (Instantons) gibt, die zu Korrelationsfunktionen beitragen, die die Divergenz der$U(1)$axialer Strom. Die Analyse stützt sich stark auf das Indextheorem für den an den Dirac-Operator gekoppelten$SU(3)$Eichfeld von QCD. Für eine vollständigere Erklärung siehe S. Colemans Erice-Vorlesungen "The uses of instantons". Es gibt auch wichtige Anwendungen für die S-Dualität von$N=4$SYM, die den Indexsatz für den Dirac-Operator auf Monopolmodulräumen beinhalten.

Lassen Sie mich zunächst erklären, worauf sich der fragliche Index bezieht. Wenn die Mathematik zu voller Fachjargon wird, lass es mich in den Kommentaren wissen.

In der Physik interessieren wir uns oft für das Spektrum verschiedener Operatoren auf einigen Mannigfaltigkeiten, die uns interessieren. ZB: der Dirac-Operator in 3+1 Raumzeit. Insbesondere die Niedrigenergie-Langstreckenphysik ist in den Nullmoden (Grundzuständen) enthalten.

Nun, was der "Index" für den Dirac-Operator misst$D$und eine gegebene Mannigfaltigkeit$M$, ist die Differenz zwischen der Anzahl der linkshändigen Nullmoden und der Anzahl der rechtshändigen Nullmoden. Eher technisch:

wo$D$ist der betreffende Betreiber;$ker\,D$ist der Kern von$D$- die Menge der Zustände, die vernichtet werden$D$; und$ker\,D^{+}$ist der Kern seines Adjunkten. Dann, wie Sie sehen können,$ind\,D$zählt die Differenz zwischen den Dimensionen dieser beiden Räume. Diese Zahl hängt nur von der Topologie ab$M$.

Kurz gesagt bezieht sich das ASI-Theorem auf die Topologie einer Mannigfaltigkeit$M$zu den Nullmoden oder Grundzuständen eines Differentialoperators$D$Einwirken auf$M$. Dies sind offensichtlich Informationen, die für Physiker relevant sind.

Vielleicht kann jemand anderes mehr auf die physikalischen Aspekte eingehen.

Die beste Referenz für dieses und andere Themen der mathematischen Physik ist meiner Meinung nach Nakahara .

Im Fall eines Dirac-Operators ist der Index die (vorzeichenbehaftete) Exzessdimension des Raums der Vakuummoden einer Chiralität gegenüber der anderen: dh die Anzahl anomaler „Geister“-Zustände in einer Chiralfeldtheorie.

Anomalien entstehen, wenn die klassische/Quantensymmetrie-Korrespondenz unter Renormierung zusammenbricht (eine globale Anomalie könnte für die Quarkmasse in der QCD verantwortlich sein; das Auflösen der lokalen chiralen Anomalie in den SM-Konten für Quarks und Leptonen; das Auflösen in der Superstring-Theorie fixiert die Eichgruppe [ entweder SO(32) oder E8 x E8], und die Auflösung einer konformen Anomalie legt die Dimension der Raumzeit und den Fermionengehalt fest). Wenn man versucht, die Stringtheorie in tatsächliche Physik umzuwandeln, fragt man sich

• Kann es drei Generationen von chiralen Fermionen erklären?
• Kann es die experimentellen Ergebnisse zum Protonenzerfall erklären?
• Kann es die Kleinheit der Elektronenmasse erklären?
• Kann es [Dinge über die kosmologische Konstante] erklären?

und AST hilft, diese Fragen zu beantworten.