Warum verlangen wir, dass Mannigfaltigkeiten ein topologischer Raum sind?

Sie haben viele Kommentare dazu, dass "Topologie benötigt wird, um Kontinuität, Kalkülkonzepte, den Begriff "sieht aus wie", Homöomorphismus und so weiter zu beschreiben". Und das ist alles richtig, aber ich verstehe, dass sich Ihre Frage auf das globale Bild bezieht. Auch im Folgenden geht es hauptsächlich um eine toplologische oder differenzierbare Mannigfaltigkeit; Der Link von Joshphysics zeigt, dass es viele andere Konzepte von Mannigfaltigkeit gibt.

Wir beginnen mit der Vorstellung von „lokal sieht aus wie$\mathbb{R}^N$"; aber du kannst einen Satz haben$\mathbb{M}$aller Art seltsamer Kreaturen, deren Teilmengen Sie in eine eins-zu-eins, surjektive Korrespondenz mit einer offenen (mehr dazu weiter unten) Teilmenge bringen können$\mathbb{R}$(normalerweise eine einfach zusammenhängende Nachbarschaft des Ursprungs). Für eine dieser Teilmengen$\mathcal{N}$Sie haben eine "Labeller"-Karte$\lambda:\mathcal{N}\to\mathbb{R}^N$. Dann entstehen per Definition Vorstellungen von offen , Nachbarschaft und dem ganzen Rest : eine Teilmenge$\mathcal{O}\subset\mathcal{N}$ist offen iff$\lambda(\mathcal{O})$ist geöffnet$\mathbb{R}^N$. Ebenso ein "Weg"$\sigma:\mathbb{R}\to\mathcal{N}$Ist$C^0,\,C^1\, C^\omega$oder was auch immer iff$\lambda\circ \sigma:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^N$hat die gleiche Eigenschaft. Alle Topologie-, Nachbarschafts-, Kalkül-, Differenzierbarkeits- und so weiter-Konzepte werden dann durch "Fiat" definiert, und die Notwendigkeit für die Konzepte ist der Grund, warum wir wollen, dass unser Zoo von seltsamen Kreaturen "lokal so aussieht$\mathbb{R}^N$„In erster Linie ist dies also alles sehr intuitiv und offensichtlich.

Ich vermute also (auch durch das Lesen Ihrer anderen Sondierungsfragen auf dieser Website), dass Sie das alles bereits verstehen. Die entscheidende Frage ist also die der Übergangskarten und wie wir all unsere lokalen Kopien zusammenkleben$\mathbb{R}^N$zusammen . Zurück zu unserer Teilmenge$\mathcal{N}\subset\mathbb{M}$: Es gibt andere "lokale Kopien" von$\mathbb{R}^N$die unsere topologischen / Kalkül- und so weiter-Konzepte auf Teilmengen von verleihen$\mathbb{M}$außer$\mathcal{N}$. Aber diese Teilmengen müssen sich überlappen , denn wenn wir Kalkül oder Topologie oder Dynamik oder was auch immer machen, wollen wir nicht plötzlich gegen eine "Koordinatenwand" laufen und plötzlich von einem Koordinatensystem zum anderen springen müssen . Nehmen wir als Beispiel an, wir haben ein Raumschiff in einem Einstein-Verteiler (Universum, das eine Vakuumlösung für die EFEs ist). Für Berechnungen, Messungen und andere mathematische Konzepte müssen wir immer in der Lage sein, die Mannigfaltigkeit in einer Umgebung um das Raumschiff herum zu definieren : Wenn sich das Raumschiff also der Grenze eines Koordinatensystems nähert, muss es auch durch ein anderes Koordinatensystem beschreibbar sein. Koordinatensystem, in dem wir eine "Nachbarschaft" herausarbeiten können: Wir könnten dies nicht tun, wenn unsere Koordinatensysteme sich nicht überlappen, sondern stattdessen die Mannigfaltigkeit partitionieren würden$\mathbb{M}$. Anders gesagt, in der Relativitätstheorie ist die Grenze zwischen Koordinatensystemen ein Artefakt unserer speziellen mathematischen Beschreibung der Physik, sie gehört nicht zur Physik. Ein weiteres dramatisches Beispiel ist das Phänomen des Gimbal-Lock in Euler-Winkeldiagrammen für die Einheitskugel, das die Astronauten von Apollo 11 beinahe das Leben gekostet hätte, viele Piloten in den Jahren zuvor das Leben gekostet hat und der Grund dafür ist, dass die Software Signale verarbeitet Faserring-Sagnac-Kreisel, die Sie in einem Verkehrsflugzeug sicher halten, manipulieren entweder die berechnete Ausrichtung des Flugzeugs in zwei überlappenden Diagrammen, die sich abdecken$SO(3)$oder in jüngerer Zeit die Ausrichtung des Flugzeugs durch Einheitsquaternionen modellieren$SO(3)$'s doppelte Abdeckung$SU(2)$.

Daher ist unsere Überlappung dringend erforderlich, da viele, wenn nicht alle Regionen in der Mannigfaltigkeit durch mehr als eine lokale Kopie beschrieben werden können$\mathbb{R}^N$mit mehr als einem Etikettierer. Angenommen, wir haben zwei Regionen$\mathcal{N}_1,\,\mathcal{N}_2$mit Etikettierer$\lambda_1:\mathcal{N}_1\to\mathbb{R}^N$,$\lambda_2:\mathcal{N}_1\to\mathbb{R}^N$: Wir müssen sicherstellen, dass diese Etikettierer konsistente Vorstellungen von Offenheit, Nachbarschaft, Unterscheidbarkeit und all dem Rest in einer Region liefern$\mathcal{N}_1\cap\mathcal{N}_2$. Also ein Satz$\mathcal{O}\subseteq\mathcal{N}_1\cap\mathcal{N}_2$muss nach Berechnung des Etikettierers offen sein$\lambda_1$ Und $\lambda_2$und so$\lambda_1\circ\lambda_2^{-1}$Und$\lambda_2\circ\lambda_1^{-1}$, die "Übergangskarten" zwischen Diagrammen, müssen lokale Homöomorphismen, analytische Diffeomorphismen oder was auch immer der relevante Begriff für die Art der fraglichen Mannigfaltigkeit ist. Ebenso für alle anderen Kalküle und topologischen Konzepte, von denen wir sprechen wollen. Dies gelingt am besten, wenn die Diagramme (Bereiche der Etikettierer$\lambda_j$) sind offen, und ihre Schnittpunkte sind offen, wie von allen lokalen Kopien von berechnet$\mathbb{R}^N$die für die Überlappung gelten. Wir haben also zwei Axiome für Mannigfaltigkeiten neben dem offensichtlichen, dass jeder Punkt in der Mannigfaltigkeit zum Urbild von mindestens einem Etikettierer gehören muss:

1. Eine Schnittmenge zwischen zwei "Patches" (Domänen von Etikettierern) muss in der Topologie offen sein, wie von jedem der beiden Etikettierer für die überlappenden Diagramme berechnet;

2. Die Übergangskarten müssen lokale Homöomorphismen, Diffeomorphismen, ... sein.

3. Einige Autoren fügen auch das Axiom hinzu, dass die Mannigfaltigkeit Hausdorff sein sollte ($T_2$) in jedem Diagramm, aber in vielen Bereichen, insbesondere Lie-Gruppen,$T_2$wird durch andere Strukturen (die Gruppengesetze) durchgesetzt, daher ist dieses Axiom hier überflüssig.

Der einfachste Weg, dies zu tun, besteht darin, die Mannigfaltigkeit global mit einer Topologie zu versehen, deren Basis die offenen Mengen sind, wie sie von ihren Bildern unter den Etikettierern berechnet werden, oder, rückwärts geschrieben, die Basis für die Topologie ist die Sammlung aller Urbilder von Mengen, die in offen sind$\mathbb{R}^N$unter den Etikettierern.

Hoffentlich können Sie sehen, dass der Begriff der Konsistenz, wie er durch überlappende Diagramme berechnet wird, und somit der Begriff der globalen vielfältigen Topologie, sehr stark mit dem physikalischen Konzept der Kovarianz und der kopernikanischen Vorstellung verbunden ist, dass das Verhalten der Natur nicht von unserer bloßen Beschreibung abhängen kann Es.

Wenn es definierte Diagramme geben kann, die eine Menge (einen Atlas) abdecken, können Sie genau genommen dieser Menge die Topologie geben, die durch die Definition der Diagramme als bikontinuierlich induziert wird. Das heißt, eine Menge ist genau dann offen, wenn sie der Definitionsbereich einer Karte im maximalen Atlas ist.

Wenn Ihr Set bereits eine Topologie hat, stimmt die vom Atlas induzierte Topologie unter bestimmten Bedingungen mit dieser überein. (Ich denke, es ist Haussdorff und an zweiter Stelle zählbar, aber ich muss das überprüfen.)

Warum möchten Sie, dass eine Mannigfaltigkeit eine Topologie hat? Nun, Sie möchten sagen, dass auf einem Set, das klein genug ist, um von einem Diagramm abgedeckt zu werden, die Mannigfaltigkeit wie ein euklidischer Raum aussieht. Aber dann müssen Sie definieren, was "aussehen wie" bedeuten soll. Homöomorph zu sein ist eine mögliche Wahl. Diffeomorph zu sein ist eine andere.