Quantenmechanik auf einer Mannigfaltigkeit

Soweit ich weiß, gibt es im Wesentlichen zwei Möglichkeiten, wie Sie die Quantenmechanik an einer Mannigfaltigkeit mit einer gewissen Krümmung studieren können. Klassisch gesprochen führen diese beiden Wege zu derselben Physik, aber in einem quantenmechanischen Ansatz sind sie verschieden.

Der erste Ansatz besteht darin, sich ein Teilchen vorzustellen, das sich "frei" durch den dreidimensionalen Raum bewegt, aber äußeren Kräften ausgesetzt ist, die das Teilchen auf eine Untermannigfaltigkeit beschränken. Das Teilchen lebt gewissermaßen in einem begrenzenden Potential, das die Mannigfaltigkeit definiert. Der Phasenraum des Teilchens ist von vornherein der dem dreidimensionalen Raum zugeordnete übliche Phasenraum. Das externe Potential begrenzt das Teilchen jedoch auf einen Teilraum dieses Phasenraums.

Der zweite Ansatz besteht darin, mit verallgemeinerten Koordinaten zu arbeiten, wie dies in der Lagrange-Mechanik der Fall ist. Die Koordinaten des Teilchens sind dann eine Parametrisierung der Untermannigfaltigkeit. Wichtig dabei ist, dass es keinen Bezug zu den Koordinaten des dreidimensionalen Raumes gibt. Ein Beispiel ist das Pendel, das nur durch den Winkel beschrieben werden kann, den das Pendel mit der z-Achse bildet.

Klassisch wird zwischen den beiden Ansätzen nicht unterschieden. Dies gilt nicht mehr, wenn Sie zur Quantenmechanik wechseln. Wenn Sie dem ersten Ansatz folgen und ein gewisses Begrenzungspotential verwenden, um das Teilchen auf der Mannigfaltigkeit zu halten, werden Sie sich mit der Unschärferelation befassen, die die genaue Lokalisierung des Teilchens auf der Mannigfaltigkeit verbietet. Aufgrund dieses Prinzips wird das Teilchen niemals vollständig vom größeren dimensionalen Raum abgeschirmt. Sie können das Quantisierungsverfahren aber trotzdem systematisch einrichten. Der Vorteil dieses Ansatzes ist, dass die Quantisierung wie gewohnt funktioniert (Sie arbeiten schließlich mit kartesischen Koordinaten). Die Auflösung besteht darin, die Wellenfunktion und die Schrödinger-Gleichung (SE) im Wesentlichen in Beiträge aufgrund des Begrenzungspotentials und eine Art effektiven SE für den verbleibenden Teil der Wellenfunktion aufzuteilen.Mittlere Krümmung und Gaußsche Krümmung der entsprechenden Mannigfaltigkeit.

Dies ist ein sehr wichtiges Merkmal: Ein Zylinder beispielsweise hat keine Gaußsche Krümmung, sondern nur eine mittlere Krümmung. Beim zweiten Ansatz werden Sie feststellen, dass es keine Unterscheidung zwischen zwei Zylindern mit unterschiedlichen mittleren Krümmungen gibt, da bei diesem Ansatz nur die Gauss-Krümmung auftaucht. Nehmen Sie zum Beispiel ein Teilchen, das auf einer 1D-Linie lebt. Sie benötigen nur eine Koordinate, um diese Linie zu beschreiben, daher sind für den zweiten Ansatz alle Systeme gleichwertig. Aber im ersten Ansatz müssen Sie angeben, auf welche Weise die Linie in den höherdimensionalen Raum eingebettet ist und wie das Teilchen auf den niederdimensionalen Raum beschränkt ist.

Der zweite Ansatz könnte sich natürlicher anfühlen, wenn Sie wie ein Mathematiker denken. Bei diesem Ansatz benötigen Sie eine Möglichkeit, verallgemeinerte Koordinaten zu quantisieren - was viel subtiler ist als die gewöhnliche Quantisierung. Das Problem, das diesen Ansatz plagt, ist das sogenannte Ordnungsproblem. Im Wesentlichen möchten Sie die Impulsbezeichnung durch einen Ableitungsoperator ersetzen$p \rightarrow -i\hbar\nabla$. Darüber hinaus gibt es auch die Wahl der Parametrisierung der Mannigfaltigkeit, die natürlich keine Auswirkungen auf die zugrunde liegende Physik haben sollte (ähnlich der Allgemeinen Relativitätstheorie). Das Ordnungsproblem besagt, dass Sie a priori nicht wissen, wie die klassischen (kommutierenden) Variablen geordnet werden müssen, bevor Sie sie durch ihre quantenmechanischen (nichtkommutierenden) Gegenstücke ersetzen. Was noch schlimmer ist, aufgrund der Krümmung des Raums enthält der Ableitungsoperator auch eine gewisse Mehrdeutigkeit. Es gibt eine Mehrdeutigkeit bei der Wahl Ihres Impulsoperators und Ihres Hamiltonoperators (und aller anderen Funktionen). Viele quantenmechanische Hamiltonoperatoren haben dieselbe klassische Grenze, und das Äquivalenzprinzip (dh die Verknüpfung der Quantenmechanik mit der klassischen Physik) schreibt nicht vor, welches das Beste ist. Zum Beispiel der kinetische Operator$\nabla^2$kann mit dem kanonischen Laplace-Operator oder dem Laplace-Beltrami-Operator definiert werden. Dennoch gibt es einige Arbeiten, die ein verallgemeinertes Äquivalenzprinzip motivieren (siehe zB Kleinert) und zu einem konsistenten Quantisierungsverfahren führen.

Beide Ansätze haben interessante Eigenschaften, aber der erste ist tatsächlich etwas körperlicher. Der Grund dafür ist, dass Sie es in kondensierter Materie aufgrund eines Ionengitters mit einschränkenden Potentialen zu tun haben. Nehmen Sie zum Beispiel Graphen, das eine zweidimensionale Oberfläche ist. Wie sich herausstellt, ist diese Oberfläche nicht vollständig flach, sondern bildet immer einige Wellen. Diese Verformungen der Oberfläche können so interpretiert werden, als ob die Elektronen (oder Dirac-Fermionen, wenn Sie die effektive Theorie verwenden möchten) auf einer gekrümmten Mannigfaltigkeit leben, die in eine dreidimensionale Oberfläche eingebettet ist. Dies führt zu urkomischen Anwendungen, wie der Existenz von Wurmlöchern in Graphen. Aber am Ende hat die Krümmung eine sehr physikalische Manifestation in den elektronischen Eigenschaften des Systems.

= Der erste dieser Ansätze, der ein Begrenzungspotential verwendet, wird in diesen Artikeln von Costa diskutiert:

http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevA.23.1982

http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevA.25.2893 (Vielteilchenfall)

Der zweite Ansatz wird in diesem Übersichtsartikel von BS De Witt behandelt: http://link.aps.org/doi/10.1103/RevModPhys.29.377

Siehe auch das Buch von Kleinert, der ein ganzes Kapitel darüber unter Verwendung eines Path Integral-Ansatzes hat: http://www.amazon.com/Integrals-Quantum-Mechanics-Statistics-Financial/dp/9814273562

Graphen-Wurmlöcher: http://arxiv.org/abs/0909.3057

Hier ist eine Übersicht über Quantisierungsmethoden: http://arxiv.org/abs/math-ph/0405065

Der größte Teil dieses Artikels befasst sich mit QM an Verteilern.

Wenn Sie den Drehimpuls in QM untersuchen, ist dies ein Fall von Teilchen auf einer Kugel. Die Wellenfunktionen sind die sphärischen Harmonischen, der Hamilton-Operator ist es$L^2$, usw. Ich kann mir viele andere Beispiele vorstellen, bei denen das Konfigurationssystem eines QM-Systems gekrümmt wäre (z. B. eine Gruppenmannigfaltigkeit oder ein Nebenklassenraum), daher gibt es meines Erachtens keine physikalischen Gründe, sich solche Beispiele nicht anzusehen.

Für anspruchsvollere Beispiele gibt es viele Studien zur supersymmetrischen Quantenmechanik auf verschiedenen Mannigfaltigkeiten, beginnend mit diesem Artikel Supersymmetry and Morse Theory von Ed Witten. Die Verbindung zwischen SUSY QM und QFT auf einem Verteiler und der Topologie (oder manchmal sogar der Geometrie) des zugrunde liegenden Verteilers wurde seitdem zu einer Art Industrie.

Man kann eine andere Verallgemeinerung des betrachten$L^2(\mathbb R^3)$Modell, indem Sie darauf hinweisen$\mathbb R^3$ist einfach der Konfigurationsraum,$Q$, eines einzelnen Teilchens. Es gibt ein Feld namens Geometrische Quantisierung, in dem die Basis-Mannigfaltigkeit von einem Konfigurationsraum auf eine vollständige symplektische Mannigfaltigkeit erweitert wird$(M,\omega)$.

Die Idee ist, dass die gesamte Hamilton-Geometrie in der symplektischen 2-Form kodiert werden kann$\omega$. Man kann also von Poisson-Klammern {f,g}, klassischen Observablen und so weiter sprechen. Die symplektische Mannigfaltigkeit ist der natürliche geometrische Raum für das Studium der klassischen Mechanik jedes Systems. Symplektische Mannigfaltigkeiten könnten die Form haben$M=T^*Q$- als Kotangensbündel (und damit für ein einzelnes Teilchen diffeomorph zu sein$\mathbb R^6$). Sie können aber auch in anderen Fällen entstehen, beispielsweise durch Constraint-Reduktion, oder eigenständig als Lösungen von Feldgleichungen. In endlichdimensionalen Fällen sind die symplektischen Mannigfaltigkeiten 2N-dimensional.

Darauf wird dann der Hilbertraum konstruiert. Bei diesem Verfahren wird ein komplexes Leitungsbündel (local$U \times \mathbb C$) B über dem Raum M. Es gibt bestimmte topologische Bedingungen, die erforderlich sind, um die Existenz der Abschnitte dieses Bündels sicherzustellen (die mit den alten Bohr-Quantisierungsbedingungen verwandt sind). Wenn die Abschnitte existieren, kann ein Paarungsoperator eingeführt und ein Hilbert-Raum konstruiert werden.

Die Bedingung, dass die Wellenfunktion$\Psi$in einer Darstellung sein (sagen wir die Positionsdarstellung) wird kodiert, indem eine sogenannte Polarisation auf M eingeführt wird. Dies ist eine Blattung von M, die bestimmten Bedingungen unterliegt. Die Schnitte müssen entlang dieser Schieferung konstant sein. Dieser geometrische Prozess führt zur Konstruktion vertrauter Positions- und Impulsausdrücke für die Wellenfunktion und baut den Konfigurationsraum in gewissem Sinne neu auf, falls gewünscht.

Allerdings kann man oft eine komplexe Struktur einführen$J$so dass$J^2=-1$auf M, die, wenn sie mit der symplektischen Form kompatibel sind$\omega$führt zu einigen weiteren Eigenschaften. Erstens führt dies eine Metrik auf M ein, und zweitens haben wir$(M,\omega)$zu einer Kahler-Mannigfaltigkeit werden.

Der "Phasenraum" des klassischen Systems ist also jetzt eine Kahler-Mannigfaltigkeit. Weiterhin ergeben sich die oben genannten Polarisationsbedingungen$\Psi(z)$- eine holomorphe Funktion von z. Als konkretes Beispiel

$z = x + ip$

wäre die holomorphe Koordinate in 2 (real) D. Diese komplexe holomorphe Darstellung für elementare Beispiele wurde von Bergmann in den 1940er Jahren eingeführt, aber im Kontext der geometrischen Quantisierung ist sie das einfachste der Kahler-Beispiele. In diesen Kahler-Beispielen spielen die kohärenten Zustände eine grundlegende Rolle.

In Bezug auf nicht-triviale Mannigfaltigkeiten sind Symmetriebeispiele (Lie-Gruppen) eine weitere interessante Klasse von Beispielen aus der geometrischen Quantisierung. Hier wird die klassische Mannigfaltigkeit aus der Gruppenmannigfaltigkeit selbst konstruiert (durch Untersuchung koadjungierter Bahnen). Als konkretes Beispiel$SU(2)$hat als klassische Mannigfaltigkeit$S^2$. Das heißt, die Kugel vom Radius s ist der klassische Phasenraum für die Rotationsfreiheitsgrade eines Elementarteilchens mit Spin s.

All dies kann ein einheitlicher Rahmen für die klassische Untersuchung des Quantisierungsprozesses und der Implikationen nicht-trivialer Topologien (Bohm-Aharanhov, Berry-Phase usw.) sein.

Ein Text ist Geometric Quantization .

Sie können sich die Deformationsquantisierung ansehen.

Siehe zum Beispiel:

Bayen, F. ; Flato, M.; Frønsdal, C.; Lichnerowicz, A. ; Sternheimer, D.: Quantenmechanik als Deformation der klassischen Mechanik. In: Lett. Mathematik. Phys. 1 (1977), S. 521–530

Bayen, F. ; Flato, M. ; Frønsdal, C. ; Lichnerowicz, A. ; Sternheimer, D.: Deformationstheorie und Quantisierung. In: Anna. Phys. 111 (1978), S. 61–151

für die Originalpapiere.

Siehe zB http://omnibus.uni-freiburg.de/~sw12/Download/intro.pdf für eine kurze elementare Einführung. http://iopscience.iop.org/1742-6596/103/1/012002 kann als Einstieg auch interessant sein.

Die quantenmechanische Bewegung eines Teilchens auf einer gekrümmten Mannigfaltigkeit$X$wird als Beispiel für ein "nichtlineares Sigma-Modell" bezeichnet. Weitere Diskussionen finden Sie im nLab bei sigma-model . Dies ist ein sehr grundlegender Begriff der Quantenphysik. Da die Raumzeit, in der wir leben, im Allgemeinen gekrümmt ist, ist jedes Quantenteilchen, das sich in dieser Raumzeit ausbreitet, durch ein nichtlineares Sigma-Modell gegeben.

Dies hat eine interessante Beziehung zu tiefen Fragen der Geometrie: Man kann nämlich fragen, inwieweit man die gekrümmte Geometrie einer Mannigfaltigkeit aus der Physik eines Quantenteilchens, das sich darauf ausbreitet, also aus seinem Zustandsraum, und aus der Energie zurückgewinnen kann Ebenen – daher das Spektrum – seines Hamilton-Operators. Diese Frage der „spektralen Geometrie“ wurde bekanntermaßen von Alain Connes durch die Vorstellung eines „ spektralen Tripels “ gelöst . Wie Triple ist physikalisch nichts anderes als

1. ein Hilbertraum von Zuständen

2. ein Hamilton-Operator für ein Quantenteilchen (oder eher ein Dirac-Operator für ein sich drehendes Teilchen);

3. eine Algebra von räumlichen Observablen, die dicht in den Hilbert-Raum eingebettet sind.

Das fundamentale Theorem der spektralen Tripel – also der Quantenmechanik auf gekrümmten Mannigfaltigkeiten – ist, dass man aus diesen Daten die Riemannsche Geometrie der „Zielmannigfaltigkeit“ zurückgewinnen kann. Die grundlegende Auswirkung dieser Beobachtung wiederum ist: Es gibt auch "spektrale Tripel" und damit quantenmechanische Teilchen wie oben, die nicht von glatt gekrümmten Zielverteilern stammen. Während diese also nicht durch gewöhnliche Geometrie gegeben sind, kann man sie dennoch als Beschreibung der Quantenteilchenbewegung auf verallgemeinerten Räumen verstehen, nämlich auf Räumen in nichtkommutativer Geometrie . Aus dieser Sicht ist "nichtkommutative Geometrie" alles, was ein Quantenteilchen "sieht", wenn es seinen Zielraum "prüft". Siehe im nLab unter Spektralgeometrie und Schwerkraft .

Diese Perspektive auf nichtlineare Sigma-Modelle ist entscheidend für das Verständnis moderner Entwicklungen wie der Stringtheorie. Denn als nächstes können wir fragen, was es bedeutet, wenn sich ein String auf einer gekrümmten Mannigfaltigkeit ausbreitet. Man stellt fest, dass die Daten jetzt eine Art höherdimensionales Analogon der vorherigen Daten sind, das man ein 2-spektrales Tripel nennen könnte , das üblicherweise durch Strukturen wie Vertex-Operator-Algebren modelliert wird. Nun kann man also für die Quantenkette die gleiche Reverse-Engineering-Frage stellen wie für das Quantenteilchen: Können wir angesichts einer gewissen Kettenquantenmechanik mit so-so-solchem ​​Energiespektrum und so-und-solcher Algebren von Observablen die gekrümmte Raumzeit rekonstruieren dass sich die Zeichenfolge ausbreiten muss?

In der Tat kann man das -- genau bis zu den berühmten "String-Dualitäten". Auf diese Weise verbindet sich die Stringtheorie mit der Phänomenologie, indem sie aus der Quantenmechanik des Strings die effektive Hintergrundstruktur ableitet, durch die er sich ausbreiten muss.

Aus irgendeinem Grund wird die enge Ähnlichkeit zwischen Connes spektraler ("nichtkommutativer") Geometriebeschreibung von Quantenteilchen in gekrümmter Raumzeit und der perturvativen Stringtheorie nicht allgemein beworben. Besonders auffällig wurde es, als Connes und Barret 2006 feststellten, dass die einzige Möglichkeit, die chirale Fermionstruktur in einem so aufgebauten „spektralen Standardmodell“ korrekt zu bekommen, darin besteht, eine nicht-kommutative KK-Kompaktifizierung zu berücksichtigen, bei der der Faserraum eine K-Theorie hat Dimension gleich 6 (siehe die kommentierten Referenzen hier ). Dies ist natürlich dieselbe Antwort wie in der Stringtheorie, wenn auch hier von anderen Annahmen abgeleitet.

Auf jeden Fall ist die Beschreibung der gekrümmten Geometrie in Begriffen der Quantenmechanik von Teilchen (und Strings und Branes usw.), die sich darauf ausbreiten, ein tiefes Thema in Mathematik und Physik.

Da es aber wirklich um die Frage geht, auf welchen Räumen die Wellenfunktionen Abschnitte eines Bündels sind, sollte man etwas weiter schauen: Allgemein ist eine Wellenfunktion ein polarisierter Abschnitt eines Präquantenlinienbündels über einem reduzierten kovarianten Phasenraum . Nun kommen Phasenräume in der Quantenmechanik und in der Quantenfeldtheorie meistens immer als Kotangensbündel heraus$T^\ast X$des Konfigurationsraums. Es ist jedoch wichtig, sich daran zu erinnern, dass es im Allgemeinen (Eich-)Symmetrien im System gibt und dass der tatsächliche Phasenraum der Quotient dieses Kotangensbündels durch diese Symmetrien ist. Dies führt im Allgemeinen zu geometrisch und topolisch nicht trivialen Phasenräumen.

Insbesondere der Phasenraum „innerer“ Freiheitsgrade von Quantenteilchen ist allgemein gekrümmt und kompakt . Das einfachste Beispiel ist der Phasenraum für "Rotoren" und "Spinoren", also für den Spin-Freiheitsgrad von Fermionen. Dies sind die 2-Sphären (mit ihrer rund gekrümmten Metrik). Siehe dazu die geometrische Quantisierung der 2-Sphäre .

Oder wenn das Teilchen "nonabelsch geladen" ist (z. B. wenn es ein Quark ist), dann sind die internen Freiheitsgrade durch einen Phasenraum gegeben, der eine koadjungierte Umlaufbahn der gegebenen Eich-Lie-Gruppe ist. Details zu solchen kompakten gekrümmten Phasenräumen finden sich in der nLab at orbit-Methode .

Zusammenfassend sind gekrümmte Zielräume und Phasenräume eher die Regel als die Ausnahme, und ihre Quantisierung ist mit wichtigen und tiefgreifenden Problemen nicht nur in der Physik, sondern auch in der Geometrie und in der Mathematik im Allgemeinen verbunden.

Angenommen, Sie wollten über die "quantenmechanische Version" eines rotierenden starren Körpers sprechen, der "nirgendwohin geht" (klassischerweise ist der Schwerpunkt stationär). Dann würden wir wahrscheinlich Zustände in L^2(SO(3,R)) betrachten.

Eine allgemeine Regel lautet: Wenn Sie ein klassisch beschriebenes System haben und wissen möchten, was die „quantenmechanische Version“ davon ist, lassen Sie M die Konfigurationsmannigfaltigkeit sein (dh diejenige Mannigfaltigkeit, die die „Position“ des klassischen Systems beschreibt und dessen Kotangensbündel die Phasenraum-Mannigfaltigkeit ist) und Sie nehmen Ihre Zustände in L^2(M).

Für die Zwecke der realen Physik ist dies nicht immer eine nützliche Sache. Schließlich gibt es (wahrscheinlich) keine klassischen Systeme, daher ist es nicht unbedingt von grundlegendem Wert, zu wissen, wie man von "klassisch zu Quanten" übergeht. Es kann jedoch etwas sehr Interessantes darüber aussagen, wie die klassische Grenze entsteht und über die Natur der Quantendekohärenz.