Ich lese Wittens Artikel über Supersymmetrie und Morse-Theorie und bin verwirrt über die Details der Instanton-Berechnung, die er verwendet, um einen Morse-Komplex zu definieren (ab Seite 11 des PDF).
Witten schreibt den relevanten supersymmetrischen Lagrangian auf und stellt dann fest
Instanton-Lösungen oder Tunnelpfade in dieser Theorie wären Extrema dieser Lagrangian, geschrieben mit einer euklidischen Metrik und mit verworfenen Fermionen.
Ich verstehe den Teil mit der euklidischen Metrik, aber warum Fermionen verwerfen? Nachdem er die Instanton-Lösungen gefunden hat (die nur Pfade des steilsten Abfalls in Bezug auf die Morse-Funktion sind. Wir interessieren uns für Pfade, die kritische Punkte verbinden.), fährt er fort zu sagen, dass für Quantenfluktuationen um die klassische Lösung herum gilt:
Eigenwerte ungleich Null heben sich aufgrund von Supersymmetrie zwischen Bosonen und Fermionen auf. Übrig bleiben die Null-Eigenwerte der Fermionen. Für eine Trajektorie, die von A nach B verläuft, ist der Index des Dirac-Operators gleich dem Morseindex von A minus dem Morseindex von B.
Wie funktioniert diese Aufhebung zwischen Fermionen und Bosonen? Was ist mit den Null-Eigenwerten der Bosonen? Der Dirac-Operator ist hier nur eine äußere Ableitung (oder genauer gesagt die gestörte Version davon), richtig? Aber was ist mit „dem Dirac-Operator für eine Trajektorie von A nach B“ gemeint?
Ein großer Teil des Problems besteht darin, dass fast alle Referenzen, die ich finden konnte, die Instantons und Supersymmetrie verbinden, sich mit der Yang-Mills-Theorie oder erweiterter Supersymmetrie in weitaus komplizierteren Umgebungen befassen (mein Hintergrund in QFT ist eher begrenzt). Selbst dann habe ich nie etwas gefunden, was darauf hindeutet, die Fermionen in der Instanton-Berechnung zu verwerfen. Ich verstehe den Rest des Papiers größtenteils, aber dieser Teil lässt mich rätselhaft zurück.
Lassen Sie mich zunächst auf drei Referenzen verweisen, die Instantonen in der Quantenmechanik pädagogisch behandeln: 1) Riccardo Rattazzis Vorlesungsnotizen zur Behandlung von Instantonen in der nichtsupersymmetrischen Quantenmechanik. In diesen Notizen wird das Modell des anharmonischen Oszillators sehr detailliert ausgearbeitet. 2) Philip Argyres Vorlesungsunterlagen zur Behandlung von Instantonen in der supersymmetrischen Quantenmechanik. Das in diesen Vorlesungsunterlagen betrachtete Modell ist eine vereinfachte eindimensionale Version Wittens Modell im flachen Raum 3) Salomonsons und van-Holtens Originalartikel , in dem sie das gleiche Modell, das von Argyres behandelt wird, detailliert ausarbeiten. Dieser Artikel kann verwendet werden, um die Lücken in Argyres' Notizen zu füllen.
Zur ersten Frage:
Zunächst muss man beachten, dass bei einer klassischen Lösung, bei der die fermionischen Koordinaten nicht verschwinden, sowohl die bosonischen als auch die fermionischen Koordinaten Grassmann-Komponenten erhalten. Die bosonische Koordinate wird zu einer geraden Grassmann-Zahl und die fermionische zu einer ungeraden. Die Aktion selbst zu einer geraden Grassmann-Zahl wird. Dies wirft eine Schwierigkeit bei der Interpretation von auf als Tunnelrate zwischen dem entarteten Vakuua.
Salomonson und van-Holten (wie Witten) verwerfen die Fermionen (dh ersetzen das "klassische Feld" der Fermionen durch Null). Sie rechtfertigen diese Ersetzung mit der Forderung, die Wirkung endlich zu halten (was eine entscheidende Forderung ist, weil ist proportional zur Übergangsrate zwischen den Vakuua). Akulov und DuplijFinden Sie die allgemeine Lösung für dasselbe Modell mit einer nicht verschwindenden fermionischen Koordinate. Sie stellen fest, dass der Beitrag der Grassmann-Zahl zur Wirkung identisch verschwindet und die Wirkung gleich der klassischen Wirkung ist, wobei die Fermionen verworfen werden. Dies rechtfertigt teilweise das Verwerfen der Fermionen (eine weitere Begründung wird in der Diskussion über den fermionischen Nullmodus gegeben). Außerdem stellen Akulov und Duplij fest, dass im Gegensatz zur Wirkung die Grassmann-Zahl-Abhängigkeit im Allgemeinen nicht in der topologischen Instanton-Ladung verschwindet; dieser Beitrag verschwindet genau nur für Potentiale, die die Supersymmetrie brechen, was an das Verschwinden des Wittenschen Index erinnert, wenn die Supersymmetrie spontan gebrochen wird.
Die Behandlung von Nullmoden:
Die Fermion- und Boson-Determinanten mit Ausnahme der Nullmoden heben sich exakt auf. Wie in Argyres erklärt, bewirken Nullmoden im fermionischen Sektor, dass die Zustandssumme verschwindet. Die Korrektur der Grundzustandsenergie erfordert jedoch die Einfügung eines Supersymmetriegenerators (Gleichung 4.16 in Argyres), diese Einfügung ist notwendig, um den fermionischen Pfad integral nicht verschwindend zu machen, da für Grassmann variabel während .
Wenn wir nun die Methode von Akulov und Duplij anwenden, verschwindet der Beitrag des klassischen fermionischen Feldes zum Pfadintegral, da, wie bereits erwähnt, die Wirkung nicht von den klassischen fermionischen Variablen abhängt, es also keine Einfügung in die klassische Komponente gibt sein Beitrag verschwindet.
Der bosonische Nullmodus entspricht der kollektiven Koordinate des Instantons (Modulraum). Geometrisch ist diese Koordinate die Zentralzeit der klassischen Knicklösung; und die Lösung erfüllt die Bewegungsgleichungen für alle Werte. Die korrekte Auswertung des Pfadintegrals erfordert die Durchführung der bosonischen Integration an den Nicht-Null-Modi, die endlich ist, und dann die Integration über den Modulraum, was die Integration nach sich zieht .
Das Pfadintegral ist selbst in diesem einfachen Fall ziemlich umständlich und seine explizite Berechnung ist bei Salomonson und van-Holten angegeben.
Für eine rigorose und detaillierte Berechnung des Instanton-Wegintegrals für das Witten-Modell siehe Artikel von Alice Rogers .
sicher