Wie sollte ein Geometer darüber nachdenken, durch eine fermionische Symmetrie zu quotieren? Ist das ein formelles Konzept? Ein streng lineares Konzept? Ein garbentheoretisches Konzept?
Wie funktioniert die symplektische Reduktion mit ungeraden Symmetrien innerhalb der geometrischen Quantisierung? Gibt es Moduli oder Instanton-ähnliche Deformationskomplexe, bei denen der Symmetrieraum, der auf den Feldraum einwirkt, sowohl gerade als auch ungerade Symmetrien enthält?
Zum Beispiel kann das bekannte Instantonmodulproblem, dessen Verformungen durch den linearisierten Komplex bestimmt werden:
In gewissem Sinne versucht die Frage zu verstehen, wie "ungerade Symmetrien" oder fermionische Koordinaten sinnvoll durch ein bekanntes nichtlineares Problem in der Geometrie übertragen werden können, das sich einer nichtlinearen Gruppenwirkung bedient. Sind diese ungeraden Symmetrien echte geometrische Symmetrien, die auf irgendeine Weise potenziert werden müssen, oder sind sie eher formale symmetrieähnliche Operatoren analog zu echten Symmetrien? Danke im Voraus.
In dieser Antwort werden die beiden Fragen zur symplektischen Reduktion und zum Instanton-Modulraum getrennt behandelt.
Erste Frage:
Eine anerkannte Methode zur Verallgemeinerung der symplektischen Reduktion auf fermionische Symmetrien ist die Theorie der symplektischen Supermannigfaltigkeiten (und allgemeiner der Poisson-Supermannigfaltigkeiten). Bitte beachten Sie die folgende Ausstellung von Tilmann Glimm.
Symplektische Supermannigfaltigkeiten können mit zwei Arten von symplektischen Strukturen ausgestattet werden, ungerade und gerade. In Glims Artikel wird der Reduktionssatz für die beiden Arten von symplektischen Strukturen bewiesen.
Ein Beispiel für eine symplektische Supermannigfaltigkeit ist das Superkotangensbündel (siehe zum Beispiel den folgenden Artikel von: JP Michel) einer Spinmannigfaltigkeit. Lokal wird dieses Bündel von Charts abgedeckt , bestehend aus Ort, Impuls und Grassmann-Koordinaten.
Die durch geteilten Symmetrien in der supersymplektischen Reduktion bestehen aus Lie-Supergruppen mit Hamiltonscher Wirkung auf die supersymplektische Mannigfaltigkeit. In Glimms Artikel gibt es eine detaillierte Beschreibung der symplektischen Reduktion des Bose-Fermi-Oszillators durch seine Hamilton-Supersymmetriegruppe (die eine Untergruppe der orthosymplektischen Gruppe ist).
Die Theorie der geometrischen Quantisierung kann auf die Supergeometrie erweitert werden. Die Quantisierung ungerader symplektischer Strukturen führte zur Batalin-Vilkovisky- Theorie. In ihrer einfachsten Anwendung führt diese Quantisierung zu Quantisierungsräumen, die isomorph zum de-Rham-Komplex der Mannigfaltigkeit sind.
Die klassische mechanische Theorie, die mit dem geraden symplektischen Teilchen verbunden ist, ist die klassische Berezin-Marinov- Beschreibung des Spins mittels Grassmann-Variablen. Seine Quantisierung entspricht Superteilchen, bei denen die Fermionen aus Abschnitten des Spinorbündels über der Basismannigfaltigkeit bestehen.
Zweite Frage:
Grundsätzlich besteht der Instanton-Modulraum für Super-Yang-Mills-Theorien aus dem üblichen Instanton-Modulraum, der durch Atiyah Hitchin Singer Deformationskomplex gegeben ist, zusammen mit den Nullmoden eines verdrehten Dirac-Operators (siehe zum Beispiel den folgenden Artikel von: Mainiero und Walter Tangarife in Kontext der Seiberg-Witten-Theorie.
Eine supersymmetrische Verallgemeinerung des Deformationskomplexes existiert tatsächlich zumindest für die N= 4 Super-Yang-Mühlen, wie sie im Artikel von Labastida und Lozano angegeben sind (Gleichung (3.6).)