Supersymmetrische Verallgemeinerung des bosonischen σσ\sigma-Modells in der QM

Bevor ich ins Detail gehe, möchte ich Ihnen sagen, dass diese Art von Handlungen die tiefste Verbindung zwischen Geometrie und Physik beschreiben und Verallgemeinerungen dieser Art von Theorien auch heute noch aktiv erforscht werden.

Der Lagrange beschreibt$N=1$supersymmetrische Quantenmechanik auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit

Der bosonische Teil dieser Lagrangefunktion ist der kinetische Term eines Teilchens, das sich auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit bewegt$\mathcal{M}$eine Metrik haben$g$. Die Bahnen der Teilchen sind bekanntlich die Geodäten der Mannigfaltigkeit. Die Funktionen$\phi^i$sind nur die Koordinaten auf der Mannigfaltigkeit.

Die fermionischen Teile des Lagrange machen den Lagrange invariant unter den (N=1 Supersymmetrie) Transformationen:

$$\delta \phi^i =\epsilon \bar{\psi}^i$$

$$\delta \psi^i = -i \gamma^0 \dot{\phi}^i \epsilon - \Gamma^l_{jk} \bar{\epsilon} \psi^j \psi^k$$

Bitte lesen Sie den folgenden Artikel von Luis Alvarez-Gaume',

Der Supersymmetrieoperator kann in Bezug auf die kanonischen Impulse geschrieben werden:

$$\pi_i = g_{ij} \phi^j$$

als:

$$Q= i \pi_i \bar{\psi}^i - \gamma^0 \Gamma_{ijk} \bar{\psi}^i \psi^j \psi^k$$

Es kann leicht überprüft werden, dass dieser Operator die korrekte Supersymmetrietransformation angesichts der kanonischen Poisson-Klammern erzeugt:

$$\{\phi^i, \pi_j\} = \delta^i_j$$

$$\{\psi^i, \psi^*_j\} = g_{ij}(\phi)$$

Die Einbeziehung der fermionischen Koordinaten in die Lagrange-Funktion verleiht dem Teilchen, das sich auf der Riemann-Mannigfaltigkeit bewegt, einen Spin. Diese Tatsache wurde 1975 von Berezin und Marinov entdeckt, siehe deren Originalartikel (sie betrachten den Fall einer flachen Raumzeit).

Am wichtigsten ist, wenn die Theorie quantisiert wird, dann wenn wir die kanonischen Quantisierungsregeln hinzufügen

$$\pi_i \rightarrow i \frac{\partial}{\partial \phi^i}$$

Kanonische Quantisierungsregeln für die fermionischen Koordinaten

$$\psi^i \rightarrow \gamma^i$$

dh quantisieren Sie die Grassmann-Algebra zu Dirac-Matrizen oder Clifford-Algebra (bitte nicht verwechseln mit den Gamma-Matrizen in der klassischen Aktion, die als numerische Koeffizienten behandelt werden müssen), dann wird der Supersymmetrie-Operator zum Dirac-Operator (im gekrümmten Raum). Aus diesem Grund beschreibt diese Aktion ein sich drehendes Teilchen.

Außerdem ist das Quadrat des Supersymmetrieoperators der Dirac-Hamilton-Operator:

$$QQ^{\dagger}+Q^{\dagger}Q = H = \pi_i \dot{\phi}^i + i g_{ij} \bar{\psi}^i \dot{\psi}^j - L$$

Der Vier-Fermionen-Term drückt die Tatsache aus, dass sich der Dirac-Hamilton-Operator im gekrümmten Raum vom Skalar-Hamilton-Operator unterscheidet. In der Differentialgeometrie ist dieser Dirac-Hamilton-Operator der Laplace-Operator für Formen.

Eine der wichtigen Anwendungen dieser Arten von Aktionen besteht darin, dass sie verwendet werden, um quantenmechanische Beweise für die verschiedenen Indextheoreme zu liefern.

Nun ist es nicht schwierig, die folgenden Verallgemeinerungen zu denken. Wenn supersymmetrische Quantenmechanik in$0+1$Dimensionen beschreibt ein sich drehendes Teilchen, dann ein supersymmetrisches Sigma-Modell in$1+1$Dimension beschreibt eine sich drehende Schnur. Tatsächlich verwendete Witten diese Beobachtung, um den Index des Dirac-Operators auf einem Schleifenraum zu berechnen.

Man kann sich die Teilchen als Sonden zum Studium der Geometrie und Topologie der Räume vorstellen, in denen sie sich bewegen müssen. Ein klassisches Partikel kann verwendet werden, um die Geodäten zu untersuchen. Bei der Quantisierung können mehr Informationen erhalten werden, beispielsweise können die Energien, die das Spektrum des Laplace-Operators bilden, topologische und geometrische Informationen liefern. Wenn dem Teilchen ein Spin gegeben wird, können aufgrund dieser Indextheoreme noch mehr topologische Informationen abgeleitet werden, zum Beispiel können sich drehende Teilchen Löcher und Griffe in der Mannigfaltigkeit sehen.

Insbesondere kann das betrachtete Modell verwendet werden, um das Atiyah-Singer-Theorem für den Dirac-Operatorindex (Die Differenz zwischen der Anzahl der Nullmodi von$Q$Und$Q^\dagger$) auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit und werten das Ergebnis mittels des Zustandssummenfunktionspfadintegrals aus. Bitte lesen Sie den folgenden Artikel von Friedan und Windey

$$ind(Q) = \int \mathcal{D} \phi \mathcal{D} \psi e^{i \int_{PBC} L dt}$$

(PBC bezeichnet periodische Randbedingungen) Die Nullmoden des Dirac-Hamilton-Operators sind nur die harmonischen Formen, die den de-Rham-Komplex der Mannigfaltigkeit erzeugen.

Wenn wir schließlich das Teilchen durch einen String ersetzen, können wir viel mehr topologische und geometrische Informationen über die Mannigfaltigkeit untersuchen.