Welche Bereiche der Physik sollte ein Mathematiker studieren, um TQFT zu verstehen?

Als Atiyah seine Axiome für eine TQFT niederschrieb, ließ er sich von ähnlichen Axiomen inspirieren, die Segal zur Beschreibung zweidimensionaler CFTs aufstellte. Eine gute Erklärung der physikalischen Motivation aus axiomatischer Sicht wird in Segals Vorlesungen gegeben (er spricht über Axiome für QFTs, aber Sie werden Teile der Axiome für TQFTs erkennen), aber Sie können sich auch Atiyahs Originalarbeit ansehen . Eine weitere nette Referenz ist Baez's Prehistory of n-categorical physics oder Wittens ICM address .

Topologische Quantenfeldtheorien sind in der Tat Beispiele für Quantenfeldtheorien. Ihr gemeinsames Merkmal ist grob gesagt, dass die "Zeitevolution" nur von Änderungen in der Topologie abhängt. Das entspricht dem Axiom$Z(M \times [0,1]) = id_{Z(M)}$. Ein Physiker würde dies als „der Hamiltonian verschwindet“ ausdrücken.

Der Grund, warum der Funktor normalerweise aufgerufen wird$Z$ist, weil es Sie an "Zustandssumme" erinnern soll, den deutschen Begriff für Partitionsfunktion. Wenn ein Physiker ein Problem in der statistischen Physik oder der Quantenfeldtheorie untersuchen möchte (sie sind verwandt), beginnt er oft damit, eine Zustandssumme aufzuschreiben (in diesem Zusammenhang auch funktional/Feynman/Pathintegral genannt).

wo$C(M)$ist ein Raum von "Feldern" auf einer festen Mannigfaltigkeit$M$. Sie können sich die Axiome als Eigenschaften vorstellen, die eine vernünftige Partitionsfunktion haben sollte. Die gemeinsame Sprache von CFT/QFT/TQFT ist die Sprache dieser funktionalen Integrale.

Um dies aus physikalischer Sicht zu verstehen, sollten Sie zumindest etwas über die Quantenmechanik verstehen. Ich bin mir nicht sicher, welche guten Bücher es für Mathematiker gibt, aber ich glaube, es gab eine Frage zu mathoverflow dazu. Dann gibt es natürlich noch das zweibändige Set „Quantenfelder und Strings: Ein Kurs für Mathematiker“. Die Notizen, aus denen die Bücher entstanden sind, sind noch immer online auf der ias-Website zu finden.

Sie können mit Chern-Simons massiver Elektrodynamik beginnen. Dies ist 3D-Elektrodynamik (eine sehr physikalische Theorie) mit dem Lagrange:

Die topologische Grenze ist$g\rightarrow\infty$(lassen Sie den üblichen kinetischen Term weg). Wittens Chern-Simons-Theorie, die Jones-Polynomtheorie, ist die natürliche nicht-Abelsche Verallgemeinerung, wiederum in der Grenze$g\rightarrow\infty$. Dies ist die natürliche regulierte Version, und sie sollte mathematisch besser definiert sein als die nicht regulierte topologische Version.

Die toplogische Version ist singulär, da der Fluss über einen Knoten vom Knotentyp abhängt und diskontinuierlich ist, wenn sich der Knoten bewegt, um sich selbst zu kreuzen, um ein anderer Knoten zu werden. Der kinetische Begriff im Obigen rundet die Singularität ab und macht die Theorie durch Regulatoren physikalisch definierbar. Da es in 3D ist, sollte es auch eine strenge Version haben, obwohl ich die daran geleistete Arbeit nicht kenne.

Ein Buch, das mir gefallen hat, war Zees „Quantum Field Theory In A Nutshell“. Es ist ziemlich informell geschrieben (zumindest für ein Lehrbuch) und setzt voraus, dass Sie ein anständiges Maß an Mathematik kennen. Es ist auch kein Quantenbuch für Einsteiger und setzt voraus, dass Sie zuvor mindestens einen Kurs in Quantenmechanik besucht haben - Bra-Ket-Notation und so.