Topologische Wendungen der SUSY-Eichtheorie

Einige Details der dritten Wendung finden sich in Abschnitt 6 von Lit. 1. Die BPS-Gleichungen entsprechen einer nicht-abelschen Version der von Witten in Lit. betrachteten Monopolgleichungen. 2. Einige Aspekte dieser topologischen Feldtheorie wurden in Lit. betrachtet. 3, Verallgemeinerung der Analyse in Lit. 2 zum nicht-abelschen Fall.

In jeder der drei topologischen Wendungen von$N=4$supersymmetrischen Yang-Mühlen in 4d enthält die Menge der bosonischen Felder ein Eichfeld und zwei reelle Skalare (genau wie in der Verdrehung von$N=2$supersymmetrische Yang-Mühlen, die die Donaldson-Witten-Theorie liefern). In den jeweiligen Drehungen werden die verbleibenden vier bosonischen Freiheitsgrade in der$N=4$Supermultiplet fügen sich entweder zu (i) einer skalaren und einer selbst-dualen Zweierform, (ii) einer Einsform, (iii) zwei chiralen Spinoren zusammen. (Natürlich werden alle Felder in der adjungierten Darstellung der Eichgruppe bewertet.) Twist (i) ergibt die Vafa-Witten-Theorie von Ref. 4. Twist (ii) ist derjenige, der zuerst von Yamron in Phys. Lette. B213 (1988) 325-330, betrachtet von Marcus in Lit. 5, und neuerdings von Kapustin und Witten im Zusammenhang mit geometrischen Langlands. Drehung (iii) ist die im obigen Absatz erwähnte.

Auf einem kompakten Kähler Vierfachverteiler$X$mit$b_2^+ (X) > 1$, glaube ich, dass die enge Analogie zwischen den Verdrehungen (i), (iii) und der Donaldson-Witten-Theorie auf einem Verschwindungssatz beruht, ähnlich dem in Abschnitt 3 von Lit. 2 im abelschen Fall von Twist (iii). Die Implikation ist, dass alle Lösungen der BPS-Gleichungen, die sich aus den Drehungen (i) und (iii) ergeben, Instantonen an entsprechen$X$(wobei die vier verdrillten Skalare gleich Null sind).

Twist (ii) ist etwas subtiler in dem Sinne, dass er tatsächlich zu einer Familie topologischer Feldtheorien führt, wobei jedes Mitglied mit einem Punkt gekennzeichnet ist${\mathbb{CP}}^1$. Dies liegt daran, dass man bis zu einer irrelevanten Gesamtskala einen topologischen BRST-Operator aus jeder komplexen Linearkombination der beiden skalaren Superladungen definieren kann, die diese Verdrehung überleben. Um Witten zu zitieren; "In dieser Familie topologischer Feldtheorien gibt es keine trivialen Äquivalenzen, nur interessante Äquivalenzen, die aus Dualitäten stammen". In bestimmten Spezialfällen können Lösungen der BPS-Gleichungen eher als flache komplexe Verbindungen des Eichbündels (z. B. wie in Lit. 5) denn als Instantonen betrachtet werden.

Verweise:

1. C. Lozano, Dualität in topologischen Quantenfeldtheorien , arXiv:hep-th/9907123 .
2. E. Witten, „Monopole und Viermannigfaltigkeiten“, arXiv:hep-th/9411102 , Math. Auflösung Lette. 1 (1994) 769-796 .
3. JMF Labastida & M. Mariño, "Nicht-abelsche Monopole auf Viermannigfaltigkeiten", Nucl. Phys. B 448 (1995) 373-398 , arXiv:hep-th/9504010 .
4. C. Vafa, E. Witten, „Ein starker Kopplungstest von$S$-Dualität", Nucl. Phys. B 431 (1994) 3-77 , arXiv:hep-th/9408074 .
5. N. Marcus, „Die andere topologische Verdrehung von$N = 4$Yang-Mills", Nucl. Phys. B 452 (1995) 331-345 , arXiv:hep-th/9506002 .

Das Kapustin-Witten-Papier

https://arxiv.org/abs/hep-th/0604151

sagt (auf Seite 17), dass zwei der drei Wendungen mit der Donaldson-Theorie zusammenhängen:

Zwei der verdrehten Theorien, darunter eine, die ausführlich in [45: Vafa Witten] untersucht wurde, sind der Donaldson-Theorie insofern sehr ähnlich, als sie zu Instanton-Invarianten führen, die wie die Donaldson-Invarianten von Viermannigfaltigkeiten ausgedrückt werden können in Bezug auf die Seiberg-Witten-Invarianten

Mit Vafa-Witten meine ich

https://arxiv.org/abs/hep-th/9408074

Die am wenigsten untersuchte Wendung unter den dreien wurde von Neil Marcus untersucht

https://arxiv.org/abs/hep-th/9506002

aber ich bin mir nicht sicher, ob alle auf diesem Gebiet der Meinung sind, dass das Papier recht hat.