Normalisierung des Chern-Simons-Niveaus in der SO(N)SO(N)SO(N)-Eichtheorie

Lassen Sie mich die Aktion als normalisieren

$$S=\frac{k}{4\pi}\int\langle A\wedge dA + \frac{1}{3} A\wedge[A\wedge A]\rangle$$ zum $\langle,\rangle$die Tötungsform zu sein. Dies stimmt mit Ihrer Normalisierung für überein $SU(N)$.

Variation der Chern-Simons-Aktion unter einer Eichtransformation$g:M\rightarrow G$wird von gegeben

$$S\rightarrow S + \frac{k}{24\pi}\int_{g_*[M]} \langle\theta\wedge[\theta\wedge\theta]\rangle,$$ wo $\theta\in\Omega^1(G;\mathfrak{g})$ist die Maurer-Cartan-Form (Proposition 2.3 in http://arxiv.org/abs/hep-th/9206021 ). Der letzte Term wird auch Wess-Zumino-Term genannt. Deswegen, $\exp(iS)$ist invariant, wenn $$\frac{k}{24\pi}\int_{[C]} \langle\theta\wedge[\theta\wedge\theta]\rangle\in2\pi\mathbf{Z}$$ zum $[C]$der Generator von $H_3(G;\mathbf{Z})$.

Zum$G=SO(N)$, die Homologie wird erzeugt durch$SO(3)\subset SO(N)$, und dieser Term kann wie folgt berechnet werden. Wie du sagst,

$$\frac{1}{24\pi}\int_{SU(2)} \langle\theta\wedge[\theta\wedge\theta]\rangle=2\pi,$$ aber $SU(2)\rightarrow SO(3)$ist ein 2:1 lokaler Diffeomorphismus, also $$\frac{1}{24\pi}\int_{SO(3)} \langle\theta\wedge[\theta\wedge\theta]\rangle=\pi.$$

Daher das Niveau$k$in diesem Fall muss gerade sein. Siehe auch Anhang 15.A im Buch zur konformen Feldtheorie von Di Francesco, Mathieu und Senechal.

Können wir das einfach kommentieren$\text{Tr}[T^a_rT^b_r]\equiv C(r) \delta^{ab}$hängt von der Darstellung ab. Für den Fall von SU(2) und SO(3) können wir dies auf die Spin-S-Darstellung beziehen. Durch die Art und Weise, dass sich die SU(2)-Gruppe in einer Spin-1/2-Darstellung und die SO(3)-Gruppe in einer Spin-1-Darstellung befindet. Man kann die Beziehung der Spinoperatoren schreiben als:

$$S_x^2+S_y^2+S_z^2=S(S+1) \;\mathbb{I}_{2s+1}.$$ ( $\hbar=1$). Und $$\sum_a(S^a)^2=S_x^2+S_y^2+S_z^2=\sum_{a=x,y,z}(T^a)^2=3 (T^b)^2$$ hier $b$kann sein $x,y,z$. Kombinieren Sie also die beiden obigen Beziehungen: $$\frac{1}{2}\text{Tr}[T^a_rT^b_r]=\frac{1}{2}\frac{S(S+1)}{3}\text{Tr}[\mathbb{I}_{2s+1}]=\frac{S(S+1)(2S+1)}{6}$$ Für SU(2), Spin-1/2-Darstellung gilt: $$\text{Tr}[T^a_rT^b_r]=2\frac{S(S+1)(2S+1)}{6}|_{S=1/2}=1/2$$ Für SO(3), Spin-1-Darstellung, gilt: $$\text{Tr}[T^a_rT^b_r]=2\frac{S(S+1)(2S+1)}{6}|_{S=1}=2$$ .

Für die Spin-3/2-Darstellung gilt:

$$\text{Tr}[T^a_rT^b_r]=2\frac{S(S+1)(2S+1)}{6}|_{S=3/2}=5,$$ usw. Sollen wir sagen, dass die Quantisierung der Ebene k von SU(2) CS und SO(3) CS durch einen Faktor von: $$(1/2)/2=1/4.$$

Und dieser Quantisierungswert ist vermutlich ein messbarer quantisierter Wert für die Spin-Hall-Leitfähigkeit . Siehe zum Beispiel die Diskussion in diesem Artikel: Symmetry-protected topological phases with charge and spin symmetries: response theory and dynamical gauge theory in 2D, 3D and the surface of 3D: arXiv-1306.3695v2 , in Eq(26) and its p .7 rechte Spalte und in S.8 linke Spalte. Siehe auch dieses Phys Rev B-Papier .

Diese Art der Interpretation vereinfacht die mathematische Argumentation von Dijkgraaf-Witten oder Moore-Seiberg auf eine sehr physikalische Ebene des Spins$S$Eigentum. Würdest du zustimmen?

Irgendwelche weiteren Gedanken/Anmerkungen?