Chern-Simons-Aktion in 4 Dimensionen

Die Regel des Spiels ist zu verwenden$A$Und$F=dA$um eine topologische Aktion zu schreiben, und in$d+1$-Raum-Zeit-Dimension benötigen Sie eine Eich-Invariante $d+1$-Form, die dann über den Verteiler integriert werden kann, um Ihnen die Aktion zu geben. Eine solche Aktion hängt überhaupt nicht von der Metrik ab. Nehmen$U(1)$Messfeld als Beispiel. In$2+1$, das einzige, was Sie aufschreiben können, ist$AF$($AAA$verschwindet identisch), das ist die Chern-Simons. Dann in$3+1$, Das kannst du dir denken$FF, AAF, AAAA$.$AAF$Und$AAAA$verschwindet wegen Antisymmetrisierung des Keilprodukts. Sie bleiben also übrig$FF$. Dies kann auf andere Lie-Gruppen verallgemeinert werden.

1. Per Definition die Lagrange-Form$\mathbb{L}$der Chern-Simons (CS)-Theorie (bezüglich eines Lie-Algebra-bewerteten Einform-Eichfelds).$A$) ist eine CS-Form , dh die CS-Aktion lautet

   $$S[A]~=~\int_M\mathbb{L}.$$ Das äußere Derivat$\mathrm{d}\mathbb{L}$einer CS-Form ist (ebenfalls per Definition) die Lie-Algebra-Spur eines Polynoms der 2-Form-Feldstärke$F$. Mit anderen Worten,$\mathrm{d}\mathbb{L}$muss sogar Form-Abschluss haben, oder gleichwertig,$\mathbb{L}$muss einen ungeraden Formgrad haben und damit die Dimension der Raumzeit$M$muss seltsam sein.

2. Natürlich könnte man eine neue Definition der verallgemeinerten CS-Theorie einführen. Allgemeiner gibt es zB den Begriff TQFT . TQFTs können in beliebigen Dimensionen existieren.

3. Insbesondere sollten wir erwähnen, dass es eine verallgemeinerte 4D-CS-Theorie gibt, die von Costello, Witten & Yamazaki definiert wurde$\mathbb{R}^2\times\mathbb{C}$, vgl. zB dieser Phys.SE Beitrag.

Verweise:

1. M. Nakahara, Geometrie, Topologie und Physik, 2003; Abschnitt 11.5.

2. Höhere CS-Theorien auf nLab .