Globale Chern-Simons-Formen und topologische Eichtheorien

Wie Sie selbst sagen, ist tatsächlich jede Verbindung in einem Bündel lokal durch eine Lie-Algebra mit Wert 1-Form und im Allgemeinen nur lokal gegeben .

Sagen wir das genauer: für$X$jede Mannigfaltigkeit, a$G$-Hauptverbindung drauf ist (in " Cech-Daten "):

1. eine Auswahl an guter offener Abdeckung $\{U_i \to X\}$;

2. auf jedem Patch eine 1-Form$A_i \in \Omega^1(U_i)\otimes \mathfrak{g}$;

3. auf jedem doppelten Schnittpunkt von Patches eine Eichtransformationsfunktion$g_{i j} \in C^\infty(U_i \cap U_j, G)$

so dass

1. auf jeder doppelten Kreuzung$U_i \cap U_j$Wir haben die Gleichung$A_j = g_{i j}^{-1} A g_{i j} + g_{i j}^{-1} \mathbf{d} g_{i j}$

2. an jeder Dreifachkreuzung$U_i \cap U_j \cap U_k$Wir haben die Gleichung$g_{i j} g_{j k} = g_{i k}$.

Okay, jetzt möchten Sie eine Chern-Simons-3-Form bilden ... etwas daraus. Was Sie aus den obigen Daten sofort erhalten, ist eine Reihe lokaler differentieller 3-Formen, eine auf jedem Patch:$CS(A_i) \in \Omega^3(U_i)$.

Um diese 3-Formen global zu einer sogenannten 3-Form-Verbindung zusammenkleben zu lassen , benötigen wir die offensichtlichen Daten der Transformation mit höherer Spurweite

1. Auf jedem Patch haben wir die lokale 3-Form$CS(A_i)$;

2. Auf jeder doppelten Kreuzung sollte es eine 2-Form geben$B_{i j} \in \Omega^2(U_i \cap U_j)$welche Lehre die jeweiligen CS-3-Formen ineinander umwandelt, indem$CS(A_j) = CS(A_i) + \mathbf{d} B_{i j}$;

3. an jeder dreifachen Kreuzung sollte es eine 1-Form geben$\alpha_{i j k} \in \Omega^1(U_i \cap U_j \cap U_k)$die zwischen den Eichtransformationen erster Ordnung eine Eichtransformation zweiter Ordnung (" Geister der Geister "!) aufweist, in der$B_{i j} + B_{j k} = B_{i k} + \mathbf{d} \alpha_{ i j k}$

4. Schließlich sollte es an jedem Vierfachschnittpunkt eine glatte Funktion geben$h_{i j k l} \in C^\infty(U_i \cap U_j \cap U_k \cap U_l, U(1))$welche Spur-von-Spur-von-Spur-transformiert die Spur-von-Spur-von-Spur-transformiert ineinander, in dem$\alpha_{i j k} + \alpha_{i k l} = \alpha_{j k l} + \alpha_{i j l} + h_{i j k l}^{-1}\mathbf{d}h_{i j k l}$.

Das sind die Daten, die aus der lokalen Chern-Simons-3-Form ein global wohldefiniertes 3-Form-Feld machen. (Zum Beispiel hat das Supergravitations-C-Feld diese Form, mit einigen weiteren Wendungen und Glocken und Pfeifen, die hinzugefügt wurden, wie wir hier besprochen haben ).

In mathematischer Sprache sagt man, dass diese Art von lokalen Gauge-of-Gauge-Verklebungsdaten zur globalen Definition von Feldern höherer Form ein "Kozyklus Grad 4 in der Cech-Deligne-Kohomologie " ist. Dies sind genau die richtigen Daten, die benötigt werden, um eine wohldefinierte 3-dimensionale höhere Holonomie zu haben , wie sie hier für die Definition benötigt wird, denn das Chern-Simons-Aktionsfunktional ist nichts anderes als die 3-dimensionale höhere Holonomie dieser 3-Form-Verbindung.

Wenn Sie es bauen können, das heißt. Aus dem Obigen ist es nicht ganz offensichtlich, wie die 3-Form-Kozyklusdaten aufgebaut werden$\{CS(A_i), B_{i j}, \alpha_{i j k}, h_{i j k}\}$aus den gegebenen Pegelfelddaten$\{A_i, g_{i j}\}$.

Aber dies kann getan werden. Dafür wurden Cheeger-Simons-Differentialzeichen entdeckt. Eine explizite Konstruktion, die für die Anwendung auf die Chern-Simons-Theorie sehr natürlich ist, haben wir nachgegeben

• Fiorenza, Schreiber, Stasheff, Cech Cocycles for Differential Characteristic Classes , Advances in Theoretical and Mathematical Phyiscs, Volume 16 Issue 1 (2012) ( arXiv:1011.4735 , web )

Darauf aufbauend geben wir eine detaillierte Einführung und Diskussion von Chern-Simons Aktionsfunktionalen für global nicht-triviale Situationen wie oben in

• Fiorenza, Sati, Schreiber, Eine höhere Perspektive auf die Chern-Simons-Theorie ( arXiv:1301.2580 , web )

Dieser Artikel gibt die allgemein gültigen lokalen Formeln an, erörtert die Vereinfachungen, die auftreten, wenn angenommen werden kann, dass die 3-Mannigfaltigkeit begrenzt ist, erörtert, was passiert, wenn dies nicht der Fall ist, und untersucht dann verschiedene andere Eigenschaften der global definierten Chern-Simons-Theorie, z. B. wie um Wilson-Zeilen an die obige Geschichte zu koppeln. Wenn Sie sich nur den ersten Teil ansehen, sollten Sie meiner Meinung nach finden, was Sie brauchen.

Bearbeiten: In den Kommentaren unten kam die Frage auf, warum eine ähnliche Diskussion nicht auch beim Aufschreiben des Yang-Mills-Aktionsfunktionals erforderlich ist, dessen Lagrangian die 4-Form ist$\langle F_A \wedge \star F_A \rangle$(wo$\star$ist der Hodge-Stern einer gegebenen Metrik (Schwerkraft) und$\langle -,-\rangle$ist ein invariantes Polynom, die "Killing-Form" oder Spur), oder ähnlich das topologische Yang-Mills-Aktionsfunktional, dessen Lagrangian die 4-Form ist$\langle F_A \wedge F_A \rangle$.

Der Grund dafür ist, dass diese Lagrange-Operatoren aus Krümmungen aufgebaut sind, die in einem invarianten Polynom ausgewertet werden . Gerade die Invarianz dieser invarianten Polynome unter der adjungierten Wirkung der Eichgruppe auf ihre Argumente stellt sicher, dass wenn$\{U_i \to X\}$eine gute offene Abdeckung des 4-dimensionalen Raums(-zeit) ist und das Eichfeld durch die Cech-Kozyklus-Daten gegeben ist$\{A_i, g_{i j}\}$in Bezug auf diese lokalen Patches, dass dann bei doppelten Überlappungen die zwei (topologischen oder nicht) Yang-Mills-Lagrangians, die von zwei Patches kommen, bereits gleich sind

Also wenn wir schreiben$\nabla = \{A_i, g_{i j}\}$für die Eichfeldverbindung abstrakt und bezeichnen die (topologische) Yang-Mills-Lagrangedichte global mit$\langle F_\nabla \wedge F_\nabla\rangle$, dann ist dies bereits eine global definierte 4er-Form. Mathematisch gesehen ist diese Aussage der Kern der Chern-Weil-Theorie .

Beachten Sie, dass es dennoch eine komplizierte Beziehung zur Geschichte des Chern-Simons-Funktionals gibt. Nämlich die lokale Chern-Simons-Form $CS(A_i)$hat die besondere Eigenschaft (im Wesentlichen per Definition), dass sein Differential der topologische Yang-Mills-Lagrangian ist:

Dies bedeutet, dass mit dem Chern-Simons-Lagrange, der als 3-Form-Verbindung betrachtet wird, der topologische Yang-Mills-Lagrange seine Krümmung 4-Form hat . Daher ist die Beziehung zwischen der topologischen Yang-Mills-Lagrange-4-Form und der Chern-Simons-3-Form genau ein Analogon in der höheren Eichtheorie der vertrauten Beziehung zwei Grad tiefer als die elektromagnetische Potential-1-Form – die nicht global ist allgemein definiert - hat eine Krümmungs-2-Form, die global wohldefiniert ist.

Mathematisch werden Chern-Simons-Funktionale deshalb als „ sekundäre Invarianten “ bezeichnet .

Tatsächlich ist dies etwas mehr als nur eine Analogie: Die Chern-Simons-3-Form ist genau ein doppelt höheres Analogon des elektromagnetischen Felds, wenn wir vom Punkt über die Saite zur Membran gelangen .

Ich habe einige Vorlesungsnotizen mit mehr in diese Richtung bei nLab: Twisted Smooth Cohomology in String Theory .