Faddeev-Popov Determinante der Chern-Simons-Theorie

Question

Faddeev-Popov Determinante der Chern-Simons-Theorie

Physik
Eichtheorie
Chern-Simons-Theorie
Quantenfeldtheorie
Topologische-Feld-Theorie

Libertarian Feudalist Bot

Ich stelle diese Frage, um den Ausdruck der Faddeev-Popov-Determinante herauszufinden, den Edward Witten in seinem Artikel „ Quantum Field Theory and Jones Polynomial “ gegeben hat.

Ausgehend von der Handlung

S [EIN] = \frac{k}{4 π} \int_{M} T r (EIN \land d EIN + \frac{2}{3} EIN \land EIN \land EIN)

$S[A]=\frac{k}{4\pi}\int_{M}\mathrm{Tr}\left(A\wedge dA+\frac{2}{3}A\wedge A\wedge A\right)$

die Variation ergibt eine Bewegungsgleichung

F = d EIN + EIN \land EIN = 0

$F=dA+A\wedge A=0$

Bezeichnet die Lösungen der Bewegungsgleichung mit $a$ , dann erweitert man eine generische Verbindung $A$ um eine Flachverbindung

EIN = a + B

$A=a+B$

Dann teilt sich die Aktion in drei Teile:

S [EIN] = \frac{k}{4 π} \int_{M} T r (a \land d a + \frac{2}{3} a \land a \land a \land a) + \frac{k}{4 π} \int_{M} T r (B \land D_{a} B) +

$S[A]=\frac{k}{4\pi}\int_{M}\mathrm{Tr}\left(a\wedge da+\frac{2}{3}a\wedge a\wedge a\wedge a\right)+\frac{k}{4\pi}\int_{M}\mathrm{Tr}\left(B\wedge D_{a}B\right)+$

+ \frac{k}{6 π} \int_{M} T r (B \land B \land B)

$+\frac{k}{6\pi}\int_{M}\mathrm{Tr}\left(B\wedge B\wedge B\right)$

wobei die kovariante Ableitung im zweiten Term definiert ist als $D_{a}=d+[a,\,\,\,\,]$ .

Die Spurwechsel $A[U]=U^{-1}dU+U^{-1}AU$ zerfällt in zwei Teile:

a [U] = U^{- 1} d U + U^{- 1} a U, B [U] = U^{- 1} B U

$a[U]=U^{-1}dU+U^{-1}aU,\quad B[U]=U^{-1}BU$

damit die Flachanschlüsse flach bleiben und der Störteil $B$ lebt in der adjungierten Darstellung.

Dann nimmt das Pfadintegral die Form an

Z = \int D a e^{ich S [a]} \int D B \exp {\frac{ich k}{4 π} \int_{M} T r (B \land D_{a} B) + \frac{ich k}{6 π} \int_{M} T r (B \land B \land B)}

$Z=\int\mathcal{D}a\,e^{iS[a]}\int\mathcal{D}B\,\exp\left\{\frac{ik}{4\pi}\int_{M}\mathrm{Tr}(B\wedge D_{a}B)+\frac{ik}{6\pi}\int_{M}\mathrm{Tr}(B\wedge B\wedge B)\right\}$

Es ist leicht, die letzten beiden Terme zu überprüfen

S [a; B] = \frac{ich k}{4 π} \int_{M} T r (B \land D_{a} B) + \frac{ich k}{6 π} \int_{M} T r (B \land B \land B)

$S[a;B]=\frac{ik}{4\pi}\int_{M}\mathrm{Tr}(B\wedge D_{a}B)+\frac{ik}{6\pi}\int_{M}\mathrm{Tr}(B\wedge B\wedge B)$

sind in der Tat invariant unter den Eichtransformationen $a[U]=U^{-1}dU+U^{-1}aU$ und $B[U]=U^{-1}BU$ . Unter Annahme der Raumzeit-Mannigfaltigkeit $M$ geschlossen ist und $k\in\mathbb{Z}$ , dann der erste Teil

S [a] == \frac{k}{4 π} \int_{M} T r (a \land d a + \frac{2}{3} a \land a \land a)

$S[a]==\frac{k}{4\pi}\int_{M}\mathrm{Tr}\left(a\wedge da+\frac{2}{3}a\wedge a\wedge a\right)$

ist bis auf eine Verschiebung um auch eichinvariant $2\pi\mathbb{Z}$ aus dem Wess-Zumino-Witten-Term unter großen Spurwechseln.

Unter der Annahme, dass der Modulraum von flachen Verbindungen $\mathcal{M}=\mathrm{Hom}(\pi_{1}(M),G)/G$ eine diskrete Menge ist, dann ist es die Zustandssumme wirklich

Z = \sum_{m \in M} e^{ich S [a_{m}]} \frac{1}{v Ö l} \int D B \exp {\frac{ich k}{4 π} \int_{M} T r (B \land D_{a} B) + \frac{ich k}{6 π} \int_{M} T r (B \land B \land B)}

$Z=\sum_{m\in\mathcal{M}}e^{iS[a_{m}]}\frac{1}{\mathrm{Vol}}\int\mathcal{D}B\,\exp\left\{\frac{ik}{4\pi}\int_{M}\mathrm{Tr}(B\wedge D_{a}B)+\frac{ik}{6\pi}\int_{M}\mathrm{Tr}(B\wedge B\wedge B)\right\}$

Zur Fixierung des Eichmaßes legt der Autor das kovariante Eichmaß fest

F [a; B] = (D_{a})_{μ} B^{μ} = 0

$\mathcal{F}[a;B]=(D_{a})_{\mu}B^{\mu}=0$

Die Faddeev-Popov-Determinante ist dann

Δ [a; B] = D e t (\frac{δ F [a [U]; B [U]]}{δ U}) |_{U = ich d} = D e t (M)

$\Delta[a;B]=\mathrm{Det}\left(\frac{\delta\mathcal{F}[a[U];B[U]]}{\delta U}\right)\Bigg|_{U=\mathrm{id}}=\mathrm{Det}(M)$

Unter Verwendung der Kettenregel hat man

M (x - j) = \int d^{3} z {\frac{δ F (x)}{δ B (z)} \frac{δ B (z)}{δ U (j)} + \frac{δ F (x)}{δ a (z)} \frac{δ a (z)}{δ U (j)}}

$M(x-y)=\int d^{3}z\left\{\frac{\delta\mathcal{F}(x)}{\delta B(z)}\frac{\delta B(z)}{\delta U(y)}+\frac{\delta\mathcal{F}(x)}{\delta a(z)}\frac{\delta a(z)}{\delta U(y)}\right\}$

In Wittens Artikel ist der endgültige Ausdruck des Faddeev-Popov ziemlich einfach, das ist

M = (D_{a})_{μ} (D_{a})^{μ}

$M=(D_{a})_{\mu}(D_{a})^{\mu}$

Als ich jedoch die Berechnung funktionaler Ableitungen fortsetzte, kam ich zu einem ganz anderen Ergebnis.

Genauer gesagt sind die funktionellen Derivate gegeben durch

\frac{δ F (x)}{δ B (z)} = D_{a} (x) δ (x - z), \frac{δ F (x)}{δ a (z)} = [δ (x - z), B (z)]

$\frac{\delta\mathcal{F}(x)}{\delta B(z)}=D_{a}(x)\delta(x-z),\quad \frac{\delta\mathcal{F}(x)}{\delta a(z)}=[\delta(x-z),B(z)]$

\frac{δ B (z)}{δ U (j)} = [B (z), δ (z - j)], \frac{δ a (z)}{δ U (j)} = D_{a} (z) δ (z - j)

$\frac{\delta B(z)}{\delta U(y)}=[B(z),\delta(z-y)],\quad \frac{\delta a(z)}{\delta U(y)}=D_{a}(z)\delta(z-y)$

wo $(D_{a})_{\mu}(x)\delta(x-y)=\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}\delta(x-y)+[a_{\mu}(x),\delta(x-y)]$ , und der Kommutator trägt hier Lie-Algebra-Indizes und ist daher symmetrisch. dh $[A,B]=AB+BA$ .

Wenn ich die obigen funktionalen Ableitungen wieder in die Determinante einsetze, habe ich am Ende Folgendes erhalten

M (x) = 4 (D_{a})_{μ} B^{μ} (x)

$M(x)=4(D_{a})_{\mu}B^{\mu}(x)$

Dies ist offensichtlich falsch.

Was mache ich falsch im obigen Verfahren?

(Ich habe diese Frage auch hier gepostet )

AccidentalFourierTransform

Was das Problem der flachen Verbindungen anbelangt, finden Sie möglicherweise den Hilbert-Raum von Chern-Simons auf einem Torus, Teil eins. nützlich.

Jing-Yuan Chen

Als Nebenbemerkung beachten Sie bitte, dass die Ray-Singer-Torsion in diesem Artikel einen kleinen Fehler aufweist - es sollte die Quadratwurzel der Ray-Singer-Torsion sein, wie im Link ausgeführt wurde

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Faddeev-Popov Determinante der Chern-Simons-Theorie

Was das Problem der flachen Verbindungen anbelangt, finden Sie möglicherweise den Hilbert-Raum von Chern-Simons auf einem Torus, Teil eins. nützlich.
Als Nebenbemerkung beachten Sie bitte, dass die Ray-Singer-Torsion in diesem Artikel einen kleinen Fehler aufweist - es sollte die Quadratwurzel der Ray-Singer-Torsion sein, wie im Link ausgeführt wurde

David Bar Mosche · Answer 1

David Bar Mosche

Witten möchte das Pfadintegral für einen gegebenen Hintergrund auswerten $a$ , er will nicht variieren $a$ innerhalb der $B$ Handlung. Wenn er das gewollt hätte, hätte er sich nicht für die Spurweitenbefestigung entschieden $(D_{a})_{\mu}B^{\mu}=0$ , weil diese Eichfixierung unter der kombinierten Eichtransformation von unveränderlich ist $a$ und $B$ in der Frage angegeben.

Die Wirkung für das Schwankungsfeld hat folgende Eichfreiheit:

a [U] = a

$a[U] = a$

B [U] = U^{- 1} B U + U^{- 1} D_{a} U

$B[U] = U^{-1}BU + U^{-1}D_aU$ (Unendlich:

δ B [U] = D_{a} δ U + [B, δ U] = D_{A} δ U

$\delta B[U] = D_a \delta U + [ B, \delta U] = D_A \delta U$ )

Bitte beachten Sie, dass die Chern-Simons-Aktion für $B$ ist eichinvariant bezüglich obiger Transformation, da $D_a$ ist aufgrund der Flachheit von nilpotent $a$ :

D_{a}^{2} = F_{a} = 0

$D_a^2 = F_a = 0$ Damit haben wir eine Eichtheorie des Nicht-Abelschen

B

$B$ Messpotential mit der äußeren Ableitung

d

$d$ durch das verdrillte Differenzial ersetzt

D_{a}

$D_a$ .

Jetzt haben wir :

δ F [a; B] = (D_{a})_{μ} δ B^{μ} = (D_{a})_{μ} (D_{EIN})^{μ} δ U

$\delta\mathcal{F}[a;B]=(D_{a})_{\mu}\delta B^{\mu}= (D_{a})_{\mu}(D_A)^{\mu} \delta U$

Somit ist der Faddeev-Popov-Laplace-Operator:

M = (D_{a})_{μ} (D_{EIN})^{μ}

$M=(D_{a})_{\mu}(D_{A})^{\mu}$

Bitte beachten Sie, dass sich dies von Wittens Ergebnis unterscheidet, die zweite kovariante Ableitung bezieht sich auf das volle Eichpotential: Hintergrund $+$ Fluktuation. Wir erhalten Wittens Ergebnis nur, wenn wir annehmen, dass die Fluktuationen klein sind und Terme vernachlässigen, die größer als der quadratische Term sind. Diese Tatsache wurde von Birmingham, Blau, Rakowski und Thompson bemerkt , wo eine sorgfältige Auswertung in den Gleichungen 6.14 und 6.15 auf Seite 195 gegeben wird.

Libertarian Feudalist Bot

Vielen Dank für Ihre Hilfe, Herr David Bar Moshe. Dieses Problem ließ mich an Schlaflosigkeit leiden. Oh, dumm von mir. Danke, dass du mich erleuchtet hast.

Libertarian Feudalist Bot

Hallo Herr. Ich habe noch eine Frage an Sie. Der Fluktuationsteil der Aktion unter der obigen Eichtransformation erzeugt dann eine "kovariante Version" des Wess-Zumino-Witten-Terms, der ist

T r (U^{- 1} D_{a} U \land U^{- 1} D_{a} U \land U^{- 1} D_{a} U)

$\mathrm{Tr}(U^{-1}D_{a}U\wedge U^{-1}D_{a}U\wedge U^{-1}D_{a}U)$ . Ist das noch fest?

David Bar Mosche

Ja, das sollte es sein. Der Grund ist das verdrehte Außendifferential

D_{a}

$D_a$ wirkt auf den verschiedenen Feldern entsprechend ihrer Vertretung. Zum Beispiel

T r ((U^{- 1} d U)^{3})

$\mathrm{Tr}\left(( U^{-1} dU)^3\right)$ ist ein Skalar, also:

D_{a} T r ((U^{- 1} d U)^{3}) = d T r ((U^{- 1} d U)^{3})

$D_a\mathrm{Tr}\left(( U^{-1} dU)^3\right) = d\mathrm{Tr}\left(( U^{-1} dU)^3\right)$ , daher:

d T r ((U^{- 1} d U)^{3}) = T r D_{a} ((U^{- 1} d U)^{3}) = 0

$d\mathrm{Tr}\left(( U^{-1} dU)^3\right) = \mathrm{Tr}D_a\left(( U^{-1} dU)^3\right) = 0$ . Das Verschwinden des letzten Begriffs kann nach den gleichen Kriterien des WZW-Standardbegriffs nachgewiesen werden. Damit ist dieses Formular geschlossen.

David Bar Mosche

Daher können wir auf einer kompakten Mannigfaltigkeit eine Normierung finden, die sie ganzzahlig macht. Nun sollte diese Normalisierung nicht von der flachen Verbindung abhängen

a

$a$ zumindest wenn sein Modulraum zusammenhängend ist. Also wenn wir von ausgehen

a = 0

$a=0$ , erhalten wir die übliche Normalisierung, die für alle Werte von bestehen bleiben sollte

a

$a$ auf der angeschlossenen Komponente von

a = 0

$a=0$ .

Libertarian Feudalist Bot

Hallo Herr David Bar Moshe. Meinst du

T r D_{a} ((D^{- 1} D_{a} U)^{3})

$\mathrm{Tr}D_{a}((D^{-1}D_{a}U)^{3})$ ?

Libertarian Feudalist Bot

Hallo Herr. Würden Sie mir sagen wie

D_{a}

$D_{a}$ Einwirken auf

U

$U$ ist definiert? Ist das gerecht

d U + a U

$dU+aU$ ?

David Bar Mosche

U

$U$ transformiert sich unter der adjungierten Darstellung, also

D_{a} U = d U + a U - U a

$D_a U = dU + aU – Ua$ . Ein weiteres Beispiel: Angenommen, Sie haben ein Materiefeld

Ψ

$\Psi$ Transformieren gemäß einer allgemeinen Transformation, die durch die Matrizen dargestellt wird

{T_{i}}

$\{T_i\}$ . Dann

D_{a} Ψ = d ψ + a_{i} T_{i} Ψ

$D_a \Psi = d\psi + a_i T_i \Psi$ . Der WZW-Term ist also ein (Eichgruppen-)Skalar

D_{a} (W Z W) = d (W Z W)

$D_a (WZW) = d (WZW)$ (mit anderen Worten

{T_{i}}

$\{T_i\}$ sind für den WZW-Term alle Null (triviale Darstellung)).

Libertarian Feudalist Bot

Wie kann

U

$U$ in adjungierte Darstellung umwandeln? U ist eine Eichtransformation, also eine Skalarfunktion.

David Bar Mosche

Alle Objekte in der Yang-Mills-Theorie arbeiten mit einem kartesischen Produkt: Raumzeit

\otimes

$\otimes$ innere Symmetrie.

U

$U$ ist ein Raum-Zeit-Skalar, aber es ist ein Gruppenelement der inneren Symmetrie. Bei allem, was ich oben erwähnt habe, habe ich mich auf die innere Symmetrie bezogen.

Libertarian Feudalist Bot

Aber von der infinitesimalen Eichtransformation sollte es sein

D_{a} U = d U + a U

$D_{a}U=dU+aU$ .

David Bar Mosche

Wenn

U

$U$ zum Beispiel zur Fundamentaldarstellung gehört hätte, dann wäre Ihre Gleichung richtig. Bitte überprüfen Sie das unter der Transformation:

U \to V^{- 1} U V

$U\rightarrow V^{-1}UV$ und

a \to V^{- 1} a V + V^{- 1} d V

$a\rightarrow V^{-1}aV+V^{-1}dV$ , dass die Ableitung, die Sie geschrieben haben, nicht kovariant ist, während die oben angegebene Ableitung mit der adjungierten Aktion kovariant ist.

Libertarian Feudalist Bot

Hallo Sir, es tut mir leid, dass ich immer noch nicht verstehen kann. Was ist

U \to V^{- 1} U V

$U\rightarrow V^{-1}UV$ ? Aus der Gleichung

D_{a} U = d U + a U

$D_{a}U=dU+aU$ , es ist offensichtlich, dass die Variation von

U^{- 1} D_{a} U

$U^{-1}D_{a}U$ erzeugt den infinitesimalen Term

D_{a} δ U

$D_{a}\delta U$ .

David Bar Mosche

Es ist eine Eichtransformation, ich schreibe es in Ihrer Notation: Machen Sie die Transformation:

U [V] = V^{- 1} U V

$U[V] = V^{-1}UV$ und

a [V] = V^{- 1} a V + V^{- 1} d V .

$a[V] = V^{-1}aV+V^{-1}dV.$ Jetzt ist

D_{a}

$D_a$ kovariant unter dieser Transformation? dh gilt die folgende Gleichung:

D_{a [V]} (U [V]) = V^{- 1} (D_{a} U) V

$D_{ a[V] }(U[V]) = V^{-1} (D_a U) V$ , jetzt können Sie Ihre Prüfung durchführen, welcher Ausdruck von

D_{a}

$D_a$ erfüllt die obige Transformationsregel.

Libertarian Feudalist Bot

U

$U$ gehört zur Messgerätegruppe, während

a

$a$ gehört zur Lie-Algebra. Ich denke nicht

[a, U]

$[a,U]$ macht Sinn.

Libertarian Feudalist Bot

ich verstehe das

U^{- 1} d U

$U^{-1}dU$ ist die Mauri-Cartan-Form, die Lie-Algebra-bewertet ist. Macht es Sinn zu schreiben

U^{- 1} D_{a} U

$U^{-1}D_{a}U$ ? Hat diese Form eine geometrische Bedeutung?

David Bar Mosche

Die ganze WZW-Theorie ist bei den Gruppenelementen gegeben

U

$U$ sind in der Fundamentaldarstellung als Matrizen gegeben. Die Spur im WZW-Funktional liegt in der Fundamentaldarstellung. Bitte sehen Sie im folgenden Artikel, wie Witten diese Kommutatoren eines Lie-Algebra-Elements mit einem Gruppenelement verwendet (zB auf Seite 428, fünfte Zeile im Text). Die physikalische Bedeutung eines solchen Kommutators ist eine infinitesimale Eichtransformation auf einem endlichen Gruppenelement. phys.sinica.edu.tw/~spring8/users/jychen/pub/reference/…

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