Bedeutung der Yang-Baxter-Gleichung für die klassische rrr-Matrix

Ich lese diese [ math/9802054 ] Arbeit über die Struktur des Phasenraums von Chern-Simons TQFT. Ich stecke bei der Definition der Klassik fest R -Matrix, die wie folgt lautet:

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Das mag dumm klingen, aber ich verstehe nicht, was R 12 , R 23 , R 13 , R 21 Ist. Ich könnte sehr von einem anschaulichen Beispiel profitieren.

Gleichung (15) legt dies nahe R 12 Und R 21 aus Gleichung (14) kann definiert werden als R und seine Transponierung. Aber das vermute ich R 12 aus Gleichung (13) ist anders und hat wahrscheinlich etwas mit höheren Tensorpotenzen von zu tun G , aber mir ist einfach keine sinnvolle Definition eingefallen. Das ist peinlich verwirrend.

Ich denke, Sie erhalten die klassische YB-Gleichung durch infinitesimale Variation der üblichen YB-Gleichung.
@RyanThorngren Richtig, siehe auch mathoverflow.net/q/239079 und seine Antwort

Antworten (1)

  1. Ein Klassiker R -Matrix R ∈ G ⊗ G ist ein Element der 2. Tensorpotenz einer Algebra G (formelle Erweiterung der Algebra um ein Einheitselement 1 ).

    Die Notation R k ℓ ∈ G ⊗ G ⊗ G für ein Element der 3. Tensorpotenz bedeutet das R gehört zu den k 'th und ℓ 'te Kopie der Algebra G , und man sollte stecken 1 in die verbleibende Kopie. (Wenn k > ℓ dies beinhaltet eine Transposition.)

  2. Die Notation für das Quantum R -Matrix

    R   =   1 ⊗ 1 + ℏ R + Ö ( ℏ 2 )
    und die Quanten-Yang-Baxter-Gleichung ist ähnlich.

  3. Siehe auch die verwandte Sweedler-Notation .

Sehen Sie, das war meine ursprüngliche Idee. Aber wenn mir nicht etwas fehlt (was ich wahrscheinlich bin), gibt es kein Element wie 1 in der Lie-Algebra.
Könnten Sie bitte erklären, was es bedeutet, „eine Lie-Algebra formal um ein Einheitselement zu erweitern“?
@SolenodonParadoxus Es ist wie bei zentralen Erweiterungen: G ^ = G ⊕ C 1 , Wo 1 pendelt mit allem. Rechts?
@AccidentalFourierTransform Ich glaube, ich habe es jetzt verstanden, danke! Im Grunde betrachten wir also die universelle Hüllalgebra anstelle der Lie-Algebra selbst. Und wir verwenden hier die Einheit aus dieser Hüllalgebra. Rechts?
@JulesLamers dein Kommentar ergibt für mich nicht viel Sinn. Bitte geben Sie einen expliziten Ausdruck für an R 13 für diesen Fall, damit ich verstehe, was du meinst.
@SolenodonParadoxus Ich meine die Erklärung der Notation durch Qmechanic R k l ist richtig, heißt aber eben nicht 'Sweedler-Notation': Letzteres ist etwas anderes. Mit anderen Worten, ich stimme dieser Antwort vollkommen zu, wenn man das Wort „Sweedler“ (und den Link) entfernt.
Ich habe die Antwort aktualisiert.
@Qmechanic Es ist besser, aber ich würde trotzdem vorschlagen, Ihren Punkt 3 ganz zu entfernen. es ist hier einfach nicht wirklich relevant. (Die Sweedler-Notation kann für jede Coalgebra verwendet werden, wo sie eine bequeme Möglichkeit bietet, mit Koprodukten beliebiger Elemente zu arbeiten. Sie hängt nicht mit der Existenz einer r- (oder R-) Matrix zusammen und schon gar nicht mit der Notation mit Indizes aus der Frage.)
Bedeutung der Yang-Baxter-Gleichung für die klassische rrr-Matrix
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