Was sind die Einzelheiten der Renormierung der Chern-Simons-Theorie?

Aus nLab: Renormalisierung: Von Theorien in BV-CS-Form :

In ( Costello 07 ) wird ein vergleichsweise einfaches Renormierungsverfahren angegeben, das für Theorien gilt, die durch in der Form angebbare Wirkungsfunktionale gegeben sind

Wo

• die Felder ϕ sind Abschnitte eines abgestuften Feldbündels E, auf dem Q ein Differential, ⟨−,−⟩ eine kompatible Antibracket-Paarung ist, so dass (E,Q,⟨⟩) eine freie Feldtheorie (wie dort diskutiert) in BV- BRST-Formalismus;

• I ist eine mindestens kubische Wechselwirkung.

Dies sind Aktionsfunktionale, die gut an den BV-BRST-Formalismus angepasst sind und für die es eine Quantisierung zu einer Faktorisierungsalgebra von Observablen gibt.

Die meisten grundlegenden Theorien in der Physik sind von dieser Form, insbesondere die Yang-Mills-Theorie. Insbesondere sind auch alle Theorien vom Typ Unendlich-Chern-Simons-Theorie, die von binären invarianten Polynomen kommen, störungsbedingt von dieser Form, insbesondere die gewöhnliche Chern-Simons-Theorie.

Für eine Diskussion nur des einfachen Sonderfalls der 3D-Chern-Simons-Theorie siehe ( Costello 11, Kapitel 5.4 und 5.14 ).

Sehen

1. Die Einrichtung

2. Operator (Wärme) Kernel und Propagatoren

3. Der Renormalisierungsgruppenoperator

4. Das Wegintegral

5. Renormalisierte Aktion

6. Renormalisierung

Ich denke, Witten hat das Pfadintegral der Chern-Simons-Theorie aus der Quantenfeldtheorie und dem Jones-Polynom berechnet

Die Kopplungskonstante$k$nimmt ganzzahlige Werte an, so dass die klassische Aktion für nicht-triviale Bündel wohldefiniert ist. Die Quantisierung verschiebt sich$k$aus topologischen Gründen durch eine ganze Zahl. Insbesondere hängt die Faddeev-Popov-Determinante explizit von der Metrik ab, wodurch die topologische Invariante gebrochen wird. Um dieses Problem zu überwinden, fügt man einen Gegenterm hinzu, der proportional zur Chern-Simons-Wirkung der Gravitation ist

zur quantenwirksamen Wirkung, so dass sie die metrische Abhängigkeit von der Eichfixierung aufhebt. Dies wird jedoch eine neue Quantenanomalie einführen, die sogenannte Framing-Anomalie. Genauer gesagt sind verbundene dreidimensionale orientierbare Mannigfaltigkeiten parallelisierbar (dh ihre Tangentialbündel sind trivial). Die Wahl eines nirgendwo verschwindenden Rahmens auf der Raumzeit-Mannigfaltigkeit ist eine Rahmung. Es gibt jedoch unterschiedliche Homotopieklassen von Framings. Das Hinzufügen der obigen gravitativen Chern-Simons-Wirkung würde die Abhängigkeit von der Wahl des Rahmens einführen. Das endgültige Pfadintegral der Chern-Simons-Theorie wird daher von Framings abhängig sein, wenn Sie die topologische Invarianz bewahren wollen.

Die Theorie ist topologisch, und ihre Kopplung ist immer noch quantisiert, und daher macht es keinen Sinn, darüber zu sprechen$\beta$-Funktion.