Gravitations-Chern-Simons-Theorie für Bosonen und Fermionen

Question

Gravitations-Chern-Simons-Theorie für Bosonen und Fermionen

Physik
Stringtheorie
Quantengravitation
Chern-Simons-Theorie
Quantenfeldtheorie
Topologische-Feld-Theorie

Anonym

F1: Was ist der Unterschied zwischen Bosonen und Fermionen für ihre Gravitations-Chern-Simons-Theorie ?

Ich nehme an, wenn die Metrik nicht flach ist, haben wir im Allgemeinen vierbein ${e_{\hat{b}}}^{\nu}$ , mit

G_{μ v} {e_{\hat{A}}}^{μ} {e_{\hat{B}}}^{v} = η_{\hat{A} \hat{B}},

$g_{\mu\nu} {e_{\hat{a}}}^{\mu} {e_{\hat{b}}}^{\nu} = \eta_{\hat{a}\hat{b}},$ Wo

g_{μ ν}

$g_{\mu\nu}$ ist gebogen und

η_{\hat{a} \hat{b}}

$\eta_{\hat{a}\hat{b}}$ Lorentzsche Ebene ist. Mit der Spin-Verbindung ist

ω_{\hat{B} μ}^{\hat{C}} = {e^{\hat{C}}}_{v} \partial_{μ} {e_{\hat{B}}}^{v} + {Γ^{v}}_{σ μ} {e^{\hat{C}}}_{v} {e_{\hat{B}}}^{σ},

$\omega^{\hat{c}}_{\hat{b}\mu} = {e^{\hat{c}}}_{\nu}\partial_\mu {e_{\hat{b}}}^{\nu} + {\Gamma^\nu}_{\sigma\mu} {e^{\hat{c}}}_{\nu} {e_{\hat{b}}}^{\sigma},$ Wo

{Γ^{ν}}_{σ μ}

${\Gamma^\nu}_{\sigma\mu}$ sind die Christoffel-Symbole.

AUFBAU: Stellen wir uns nun vor, es gäbe einige Materiefeld-Bosonen $\phi$ oder Fermionen $\psi$ Kopplung an die Raumzeitmetrik, und wir integrieren die Bosonen heraus $\phi$ oder Fermionen $\psi$ um die effektiven Aktionen zu erhalten, die die gravitative Chern-Simons-Aktion in 2 + 1D beinhalten.

Es kann also eine 2+1D Gravitations-Chern-Simons-Aktion vorliegen (Spin-Verbindung $\omega$ ):

\begin{matrix} (1) & S = \int ω \land D ω + \frac{2}{3} ω \land ω \land ω \end{matrix}

$S=\int\omega\wedge\mathrm{d}\omega + \frac{2}{3}\omega\wedge\omega\wedge\omega \tag{1}$

Ich bin sicher, dass dies für Fermionen funktioniert.

F2: Wenn Bosonen jedoch Spin 0 oder Spin 1 haben, haben wir dann immer noch eine Spin-Verbindung? Ich nehme an, immer noch ja?

F3: Oder haben wir eine 2+1D Gravitations-Chern-Simons-Aktion für Bosonen ( die Verbindung $\Gamma$ ):
$\begin{matrix} (2) & S = \int Γ \land D Γ + \frac{2}{3} Γ \land Γ \land Γ \end{matrix}$ $S=\int\Gamma\wedge\mathrm{d}\Gamma + \frac{2}{3}\Gamma\wedge\Gamma\wedge\Gamma \tag{2}$

Q4: Was sind die Unterschiede zwischen Eq.1 und Eq.2 in Bezug auf Hintergrundmateriefelder? (Angenommen, die Metrik $g_{\mu\nu}$ ist an Materie gekoppelt, entweder Bosonen oder Fermionen.)

Bitte zögern Sie nicht, Referenzen anzugeben. Und stellen Sie sicher, dass Ihre Antwort zu meinem Punkt Q1-4 gehört.

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Gravitations-Chern-Simons-Theorie für Bosonen und Fermionen

Urs Schreiber · Answer 1

Obwohl Standard, gibt es eine unglückliche Verwirrung, die durch die Art und Weise verursacht wird, wie der Begriff " Spinverbindung " in der physikalischen Literatur verwendet wird.

Die Formel, die Sie angeben, bezieht sich auf die Christoffel -Symbole $\omega$ -Ding mit Hut-Indizes ist eine Formel, die zwei verschiedene, aber äquivalente lokale Komponenten-Inkarnationen der Levi-Civita-Verbindung in Beziehung setzt . Es kommt vor, dass die in ausgedrückten Komponenten $\omega$ -Form eignen sich natürlich besser zur Komponenten-Beschreibung des minimalen Kopplungsterms der Verbindung zu Fermionen, aber intrinsisch, dh bis zu Eichäquivalenzen in Bezug auf verschiedene lokale Komponentenausdrücke, der Verbindung $\nabla$ was lokal ausgedrückt wird durch " $\Gamma$ " ist äquivalent zu dem, was lokal ausgedrückt wird durch " $\omega$ “, das sind nur zwei verschiedene lokale Inkarnationen dessen, was an sich dasselbe physikalische Ding ist.

Die eigentliche Frage ist diese: auf einer orientierten Mannigfaltigkeit, der Levi-Civita-Verbindung $\nabla$ a priori ist (oder ergibt sich äquivalent, nämlich auf dem zugehörigen Rahmenbündel) an $SO(n)$ - Hauptverbindung . Um eventuell Fermionen daran zu koppeln, muss man diese auffordern (im Sinne von G-Strukturen ) zu a anzuheben $Spin(n)$ -Hauptverbindung.

Beachten Sie jedoch, dass in Ihrer obigen Frage niemals tatsächliche Fermionen erscheinen. Was Sie wirklich fragen, ist das Chern-Simons-Funktional $CS(\nabla)$ An $SO(n)$ -Hauptanschlüsse oder auf $Spin(n)$ -Hauptverbindungen.

Schauen Sie sich "SO(n)-Chern-Simons-Theorie" und ähnliches an und wiederholen Sie dann vielleicht Ihre Frage.

Wenn ich Ihre Antwort verstehe, funktionieren meine Gleichungen 1 und 2 für die Gravitations-Chern-Simons-Theorie, indem sie die Kopplung von Materiefeldern an die Metriken integrieren - sowohl für die Bosonen als auch für die Fermionen gelten die Gleichungen 1 und 2. Eine solche Unterscheidung gibt es also nicht. Sind Sie einverstanden?
Was ist die SO(n)-Chern-Simons-Theorie Ref, die Sie empfehlen?
würden Sie dies auch beleuchten: physical.stackexchange.com/questions/153721/… ?

Gravitations-Chern-Simons-Theorie für Bosonen und Fermionen

Anonym

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Urs Schreiber

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