Herleitung der reduzierten Green-Funktionen in Polchinskis Band 1

Zuerst müssen Sie verstehen, wie man die einfache Poisson-Gleichung auf einer Ebene löst (konform äquivalent zu einer Kugel). Die Lösung ist ein Vielfaches von$\ln|z_1-z_2|$. Dies ist das 2D-Gegenstück der 3D-Tatsache, die der Laplace von$1/r$Ist$-4\pi\delta^{(3)}(\vec r)$und kann unter Verwendung des gleichen Gauß'schen Gesetzesbeweises bewiesen werden.

Die Laplace-Gleichung – eine ohne die Delta-Funktion auf der rechten Seite – hat Lösungen, die die Mehrdeutigkeit der vorherigen Lösung bestimmen: einige holomorphe und antiholomorphe Funktionen, die nicht einmal aufgeschrieben sind. Jetzt können Sie die hinzufügen$X_0^2$Quelle auf der rechten Seite, auch. Es ist tatsächlich erforderlich, dass die Lösung im Unendlichen brav ist, damit die Lösung auf der Ebene als Lösung auf interpretiert werden kann$S^2$. Bitte überprüfen Sie, ob die Lösung, die er aufgeschrieben hat, die Gleichungen löst. Im Allgemeinen gibt es natürlich kein "ganz einfaches" Verfahren zum Lösen von Differentialgleichungen. Man kann mit etwas Erfahrung besser werden, aber es ist unvernünftig anzunehmen, dass alle diese Lösungen mechanisch gefunden werden können, indem man einem "universellen Verfahren zum Lösen von Differentialgleichungen" folgt. Es gibt keine.

Die Scheibe ist konform äquivalent zu einer Halbebene. Die reelle Achse wird als Grenze in Joes Darstellung gewählt. Die entsprechende Lösung hat ein Extra$\ln|z_1-\bar z_2|^2$da addiert man effektiv die Spiegelladungen bei$z_2\to \bar z_2$auf der anderen Seite der Grenze, um die richtigen Randbedingungen an der Grenze zu haben, damit es eine Lösung für die Scheibe (Halbebene) und nicht nur für die Kugel (ganze Ebene) ist. Auch hier besteht die vernünftige Einstellung darin, zu überprüfen, ob es sich um eine Lösung handelt, einschließlich der Delta-Funktionen, wo immer sie sein sollten, und sie hat die richtigen Randbedingungen. Man kann auch versuchen zu beweisen, dass es die allgemeinste Lösung ist. Aber das ist es. Es gibt keine Möglichkeit, sich konstruktiv der Lösung zu nähern. Man braucht etwas Erfahrung, Wissen darüber, welche Funktionen Lösungen für einige grundlegende Gleichungen sind, und etwas Erfahrung damit, wie ähnliche oder kompliziertere Versionen dieser Gleichungen durch Substitutionen und viele andere Schritte mit den einfacheren in Beziehung gebracht werden können.

Ähnlich für die projektive Ebene. Aber jetzt haben wir die Identifikation$z_2\to -1/\bar z_2$so könnte das Argument des Logarithmus sein$z_1+1/\bar z_2$aber wenn du es multiplizierst$\bar z_2$, die nur von einer Variablen abhängt, kommt man zu seinem Argument$1+z_1\bar z_2$. Auch hier sollten Sie überprüfen, ob es sich um die Lösung mit den richtigen Randbedingungen handelt.

Die Abhängigkeit von$f$fällt in (6.2.17) aufgrund der Tatsache, dass$f$spiegelt die Abhängigkeit wider$\omega$aber die Theorie ist konform invariant, also die Abhängigkeit vom konformen Faktor$\omega$kann nicht dort sein, insbesondere weil die potenziellen Quellen der konformen Anomalie an den Scheitelpunktoperatoren und möglicherweise im Unendlichen gelöscht wurden. Das ist die eher konzeptionelle Erklärung. Es gibt wirklich eine Erklärung – eine Antwort auf Ihre Frage – unter der Gleichung (6.2.17). Sie sollten dieses "heuristische, intuitive, große Ganze"-Argument jedoch durch eine direkte Berechnung überprüfen. Es ist möglich, weil es sich um ein Gaußsches Integral handelt und alle diese Integrale analytisch berechnet werden können, insbesondere wenn man eine Vorschrift für die Green-Funktionen hat. Die Berechnung kann eine Seite dauern und da Sie anscheinend noch nicht einmal versucht haben, mit der Berechnung zu beginnen, erscheint es pädagogisch kontraproduktiv, das Ganze zu schreiben, da eine solche Antwort mit ziemlicher Sicherheit 100 neue Fragen aufwerfen würde.

Man könnte detaillierter sein, aber am Ende könnte man auch gezwungen sein, eine 5-fach aufgeblasene Kopie von Joes riesigem 2-bändigen Buch zu schreiben, ergänzt durch zusätzliche Einführungen in komplexe Analysis, Analysis, Gleichungen, Integration, Substitutionen und vielleicht mehr elementare Dinge, die Sie nicht angegeben haben. Ich werde es nicht tun, weil er das Lehrbuch seit 10 Jahren schreibt und 10 Jahre mal 5 gleich 50 Jahre sind, und ich denke nicht, dass es eine sinnvolle Zeitinvestition ist, da Ihre Fragen überhaupt nicht lokalisiert erscheinen.

Kürzlich habe ich gerade erfahren, dass dies mit einer sogenannten Hadamard-Form der Green-Funktion zu tun hat, mit der ich nicht vertraut bin. Es geht ungefähr um die Singularitätsstruktur der Zweipunktfunktion. In zwei Dimensionen ist die Green-Funktion ungefähr eine Summe aus einem logarithmischen divergenten Term und einem regulären Term. In höheren Dimensionen ist die Funktion des Grüns ungefähr eine Summe aus einem Pol, einer logarithmischen Divergenz und einem regulären Term.

Genauer gesagt ist die logarithmische Divergenz$\log(d(x,y))$, Wo$d(x,y)$ist der Abstand (geodätische Länge) zwischen den beiden Punkten$x$Und$y$. Wenn die beiden Punkte sehr nahe beieinander liegen, hat die Greensche Funktion eine logarithmische Divergenz. In höheren Dimensionen sollte es auch einen Pol geben$1/(d(x-y))^{D}$, die von der Punktladungsverteilung herrührt.

Möglicherweise benötigen Sie die folgenden Papiere:

1. http://DOI:2010.1007/BF01196934
2. https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00338657/document

Ich hoffe, sie sind hilfreich für Sie.

Die Frage hängt mit folgendem zusammen

Einfache, physikalische Erklärungen für das Hadamard-Verhalten von Zweipunktfunktionen