Korrelationsfunktionen in der Wärmefeldtheorie etc

Ich habe keine vollständige Antwort, aber hier ist etwas, um Ihnen eine ungefähre Vorstellung zu geben. Wir betrachten ein Gaußsches Skalarfeld mit Ein-Punkt-Hamiltonoperator$\Omega$, dh der Hamiltonoperator dieses Feldes ist gegeben durch

$$H = : {1 \over 2} \int {\rm d}^d {\mathbf x} \left( \pi(\mathbf x)^2 + \phi(\mathbf x) \Omega^2\phi(\mathbf x)\right): = \int {\tilde {\rm d} \mathbf p} E(\mathbf p) a^{\dagger}(\mathbf p)a(\mathbf p)$$ wo wir uns vorgestellt haben $\tilde {\rm d} \mathbf p = {{\rm d} \mathbf p \over (2\pi)^d 2E(\mathbf p)} .$

Die euklidische Zweipunkt-Korrelationsfunktion dieses Feldes ist gegeben durch

$$\left<{\mathbf x} \right| G_E(t, t') \left|{\mathbf x'} \right> = \int {{\rm d}^{d+1} p \over {2 \pi}^{d+1}} {e^{i p_0(t-t') + {\mathbf p} \cdot ({\mathbf x -\mathbf x'})} \over p_0^2 + E(\mathbf p)^2}$$

während wir für die thermische Green-Funktion haben

$$\left<{\mathbf x} \right| G_{\beta}(t, t') \left|{\mathbf x'} \right> = {1 \over \beta} \sum_{\omega_n = {2 \pi n / \beta}} \int {{\rm d}^{d} p \over {2 \pi}^{d}} {e^{i \omega_n(t-t') + {\mathbf p} \cdot ({\mathbf x -\mathbf x'})} \over \omega_n^2 + E(\mathbf p)^2}.$$

Dies kann summiert und in die Beiträge des Grundzustands und der angeregten Zustände zerlegt werden

$$\left<{\mathbf x} \right| G_{\beta}(t, t') \left|{\mathbf x'} \right> = \left<{\mathbf x} \right| G_E(t, t') \left|{\mathbf x'} \right> + \int {{\rm d}^{d} p \over {2 \pi}^{d}} {1 \over E(\mathbf p)} {\cosh E(\mathbf p) (t - t') \over e^{\beta E(\mathbf p)} - 1}.$$

Daraus lassen sich zwei allgemeine Beobachtungen ableiten:

1. Die thermische Green-Funktion hat einen Pol an$\beta E = 2 \pi n$. Dies kommt daher, dass wir die Zeit (und damit die Temperatur) zu einem Kreis verdichtet haben.
2. im Limit$\beta \to \infty$der Beitrag von angeregten Zuständen stirbt ab und wir haben die Vakuum-Green-Funktion.

Es ist jetzt ein wenig alt, aber versuchen Sie es mit Hiroomi Umezawa, "Advanced Field Theory; Micro, Macro, and Thermal Physics", AIP, 1993.

In einer etwas anderen Schreibweise als der von Marek verwendeten ändert sich die Zweipunktfunktion ab

$$\left<0\right|\phi(x)\phi(x+y)\left|0\right>=\hbar\int 2\pi\delta(k^2-m^2)\theta(k_0)\mathrm{e}^{-ik\cdot y}\frac{\mathrm{d}^4k}{(2\pi)^4},$$ der freie Klein-Gordon-Vakuumzustandsfall zum entsprechenden thermischen Zustandsfall, $$\omega_\mathsf{T}\Bigl[\phi(x)\phi(x+y)\Bigr]=\hbar\int 2\pi\delta(k^2-m^2)\theta(k_0)\coth\left[ \!\frac{\hbar k_0}{2\mathsf{k_BT}}\!\right]\mathrm{e}^{-ik\cdot y}\frac{\mathrm{d}^4k}{(2\pi)^4}.$$ Auf Basis dieser Darstellung ist der thermische Freifeldfall nichts anderes als ein anderes Maß am Vorwärtslichtkegel, der zwangsläufig nicht Lorentz-invariant ist (der $k_0$im $\coth$Faktor wählt einen bevorzugten Rahmen aus). Die Verformung ist nicht weniger glatt als die Vakuum-2-Punkt-Funktion. Obwohl die obigen Gleichungen dies nicht zeigen, ist der thermische Feldzustand außerdem immer noch Gaußsch, wie der Vakuumzustand, sodass die gesamte Struktur des thermischen Zustands über dem freien Klein-Gordon-Feld vollständig durch die 2-Punkt-Funktion angegeben wird.

Man könnte auch Deformationen höherer Ordnung des Masse-Schale-Maß konstruieren, indem man zusätzliche Faktoren von hinzufügt$\coth\left[ \!\frac{\hbar k'_0}{2\mathsf{k_BT'}}\!\right]$, oder auf andere Weise, die möglicherweise unterschiedlichen zeitähnlichen Richtungen und Temperaturen entsprechen.

Eine Darstellung des Klein-Gordon-Feldes, die ausreicht, um das Obige zu rekonstruieren, findet sich in meiner "Eine prägnante Darstellung des quantisierten Klein-Gordon-Feldes und eine ähnliche Quantendarstellung des klassischen Klein-Gordon-Zufallsfeldes", quant-ph /0411156, Phys. Lette. A 338, 8-12 (2005), obwohl ich in dieser Zeitung meistens eine ganz andere Axt schleife.