Was sind die Unterschiede und Beziehungen zwischen CFTs, die auf der komplexen Ebene definiert sind, und CFTs, die auf dem Torus definiert sind? Sollen das die gleichen CFTs sein?
Ich denke, sie sollten die gleichen Operatorspektren und OPE-Koeffizienten haben. Aber was ist mit den Korrelationsfunktionen? Wenn ich die CFTs auf dem Zylinder betrachte, dann lassen sich die Korrelationsfunktionen auf dem Zylinder durch eine konforme Transformation aus den Korrelationen aus der komplexen Ebene gewinnen, aber wie sieht es mit den Korrelationsfunktionen auf dem Torus aus?
Ich denke, eine andere Frage ist, wie beeinflusst die Topologie der Raumzeit die Theorie?
Übersehe ich etwas?
Eine CFT auf jeder Oberfläche muss ein assoziatives OPE haben. Dies schränkt sowohl das Spektrum als auch die OPE-Koeffizienten ein. Diese Bedingung reicht aus, damit die CFT auf der Ebene konsistent ist, aber nicht auf dem Torus. Auf dem Torus haben Sie die zusätzliche Bedingung der modularen Invarianz der Einpunktfunktion (was die modulare Invarianz der Partitionsfunktion impliziert).
Jede CFT, die auf dem Torus existiert, existiert also auch auf der Ebene, aber es gibt CFTs, die auf der Ebene und nicht auf dem Torus existieren. Ein triviales Beispiel ist eine CFT, deren einziges primäres Feld das Identitätsfeld ist, das auf der Ebene für jeden Wert der zentralen Ladung existiert , ist aber nur dann modularinvariant, wenn .
Die Ebene und der Torus sind nicht durch konforme Transformationen miteinander verbunden. Tatsächlich sind nicht alle Tori konform zueinander. (Damit zwei Tori konform zueinander in Beziehung stehen, müssen sie den gleichen Wert eines komplexen Parameters namens Modulus haben.) Im Prinzip kann es also CFTs geben, die auf einigen, aber nicht allen Tori existieren, obwohl ich kein Beispiel kenne.
JamalS
Nahc