Warum verschwindet die Korrelationsfunktion des Energie-Impuls-Tensors wie z−4z−4z^{-4} in 2D CFT?

Question

Warum verschwindet die Korrelationsfunktion des Energie-Impuls-Tensors wie z−4z−4z^{-4} in 2D CFT?

Physik
Quantenfeldtheorie
Korrelationsfunktionen
konforme-Feld-Theorie

Nahc

Ich habe diese Aussage in mehreren Artikeln gefunden, aber ich habe keine klare Begründung dafür. Es wird gesagt, dass die Korrelationsfunktion des Energie-Impuls-Tensors $T(z)$ wie $<T(z)O_1O_2O_3>$ verschwindet wie $z^{-4}$ Wenn $z$ geht ins Unendliche. Könnte jemand erklären, warum?

QMechaniker

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$\uparrow$ Welche Papiere?

Nahc

@Qmechanic Wie arxiv.org/abs/1108.4417 , über Gleichung D.18

Antworten (2)

Warum verschwindet die Korrelationsfunktion des Energie-Impuls-Tensors wie z−4z−4z^{-4} in 2D CFT?

@Qmechanic Wie arxiv.org/abs/1108.4417 , über Gleichung D.18

Peter Krawtschuk · Answer 1

Tatsächlich ist es wahr, wenn $T$ durch jeden anderen quasi-primären Operator mit der Skalierung ersetzt wird $|z|^{-2\Delta}$ , $\Delta=h+\bar h$ . Dasselbe gilt auch für höherdimensionale CFTs. Für $T$ in 2d hast du $\Delta_T=2$ . Es gibt verschiedene Möglichkeiten, dies zu sehen.

Eine Möglichkeit besteht darin, dass tatsächlich die euklidischen Korrelationsfunktionen auf einer Kugel definiert werden können, die (mit entferntem Nordpol) über die stereographische Projektion konform zur Ebene ist. Diese Projektion setzt Korrelatoren auf der Kugel in Beziehung $\langle T(z)\ldots\rangle_{S^2}$ und im Flugzeug $\langle T(z)\ldots\rangle_{R^2}$ . Nehmen $z$ bis unendlich ist gleichbedeutend mit Senden $T$ zum Nordpol der Kugel. Auf der Kugel ist dieser Punkt nichts Besonderes, und der Korrelator mit $T$ am Nordpol ist regulär und ungleich Null für eine generische Konfiguration der verbleibenden Operatoren,

⟨ T (\infty) \dots ⟩_{S^{2}} \neq 0, \infty

$\langle T(\infty)\ldots\rangle_{S^2} \neq 0,\infty$ Wenn Sie die durch die stereografische Projektion induzierte Beziehung aufschreiben, finden Sie so etwas wie

| ⟨ T (z) \dots ⟩_{R^{2}} | ≃ | z |^{- 2 Δ_{T}} | ⟨ T (z) \dots ⟩_{S^{2}} |,

$\left|\langle T(z)\ldots\rangle_{R^2}\right|\simeq |z|^{-2\Delta_T}\left|\langle T(z)\ldots\rangle_{S^2}\right|,$ was die erklärt

z^{- 4}

$z^{-4}$ Dämpfung. Diese Formel folgt aus der Standardformel für die Änderung des Korrelators unter einer Weyl-Transformation (die Korrelatoren werden als normalisiert angenommen als

⟨ 1 ⟩_{S^{2}} = ⟨ 1 ⟩_{R^{2}} = 1

$\langle 1 \rangle_{S^2}=\langle 1 \rangle_{R^2}=1$ , andernfalls müssen Sie sich um die Weyl-Anomalie kümmern).

Ein anderer Weg führt über die OPE. Du bewegst dich $T$ bis unendlich, während die restlichen Operatoren irgendwo an festen Positionen stehen. Irgendwann können Sie alle anderen Operatoren so umkreisen, dass sie nicht enthalten sind $T$ . Das bedeutet, dass Sie jetzt das OPE verwenden können. In deinem Beispiel schreibst du

Ö_{1} (z_{1}, {\bar{z}}_{1}) Ö_{2} (z_{2}, {\bar{z}}_{2}) Ö_{3} (z_{3}, {\bar{z}}_{3}) = \sum_{ich} (C_{ich} (z_{1}, {\bar{z}}_{1}, z_{2}, {\bar{z}}_{2}, z_{3}, {\bar{z}}_{3}) Ö_{ich} (z_{1}, {\bar{z}}_{1}) + absteigend),

$O_1(z_1,\bar z_1)O_2(z_2,\bar z_2)O_3(z_3,\bar z_3)=\sum_i (C_i(z_1,\bar z_1,z_2,\bar z_2,z_3,\bar z_3)O_i(z_1,\bar z_1)+\text{desc.}),$ wobei die Summe über alle Quasi-Primzahlen in der Theorie steht und "desc." bezeichnen den Beitrag von der

s l_{2} (C)

$sl_2(\mathbb{C})$ Nachkommen von

O_{i}

$O_i$ (dh Nachkommen mit

L_{- 1}

$L_{-1}$ Und

{\bar{L}}_{- 1}

$\bar L_{-1}$ nur). Angenommen, die Basis von Quasi-Primärfarben ist diagonal gewählt, dh

⟨ O_{i} O_{j} ⟩ \propto δ_{i j}

$\langle O_iO_j\rangle\propto \delta_{ij}$ . Nimm dann den Erwartungswert mit

T

$T$ wir finden

⟨ T (z) Ö_{1} (z_{1}, {\bar{z}}_{1}) Ö_{2} (z_{2}, {\bar{z}}_{2}) Ö_{3} (z_{3}, {\bar{z}}_{3}) ⟩ = ⟨ T (z) (C_{T} (z_{1}, {\bar{z}}_{1}, z_{2}, {\bar{z}}_{2}, z_{3}, {\bar{z}}_{3}) T (z_{1}) + absteigend) ⟩ .

$\langle T(z)O_1(z_1,\bar z_1)O_2(z_2,\bar z_2)O_3(z_3,\bar z_3)\rangle= \langle T(z) (C_T(z_1,\bar z_1,z_2,\bar z_2,z_3,\bar z_3)T(z_1)+\text{desc.})\rangle.$ Wenn die Vierpunktfunktion überhaupt nicht Null ist, ist sie es auch

C_{T}

$C_T$ . Nun die Zweipunktfunktion

| ⟨ T (z) T (z_{1}) ⟩ | \propto | z - z_{1} |^{- 2 Δ_{T}}

$\left|\langle T(z) T(z_1) \rangle\right|\propto |z-z_1|^{-2\Delta_T}$ . Die nachkommenden Beiträge fallen schneller ab, da sie alle proportional zu den Ableitungen von sind

⟨ T (z) T (z_{1}) ⟩

$\langle T(z) T(z_1)\rangle$ über

z_{1}

$z_1$ .

geniert · Answer 2

geniert

Der Spannungsenergietensor ist ein quasi-primäres Feld der Dimension 2 (wenn die zentrale Ladung verschwindet). Dies bedeutet, dass in einer Betreiberprodukterweiterung

T (z) ϕ (w) = \frac{H}{(z - w)^{2}} ϕ (w) + \frac{1}{z - w} \partial ϕ (w) + regelmäßige Laufzeiten \dots

$T(z)\phi(w) = \frac{h}{(z-w)^2}\phi(w) + \frac{1}{z-w}\partial\phi(w) + \textrm{regular terms}\ldots$ mit

ϕ (w)

$\phi(w)$ ein konformes Feld der Skalierungsdimension ist

h

$h$ . Dies liegt an der Konturintegration und dem Residuensatz, der auf der linken Seite des Obigen angewendet wird, wenn alle möglichen Variationen (die der konformen Invarianz unterliegen) berechnet werden.

Die Annahme der Erwartungswerte beider Seiten sollte die Ergebnisse zurückgeben. Für Produkte von mehr als zwei Operatoren wende die Regel einfach mehr als einmal an, mit $\phi(w)$ das Neue sein $T(z=z_0)\Psi(w)$ . Eine weitere Antwort in die gleiche Richtung finden Sie hier .

Peter Krawtschuk

Dieses Argument funktioniert nicht, da Sie die Kurzstreckenentwicklung angeben, die nur konvergiert, wenn

T

$T$ ist näher dran

ϕ

$\phi$ als

ϕ

$\phi$ ist zu jedem anderen Operator (der Kreis um

ϕ

$\phi$ Und durch

T

$T$ sollte keine anderen Operationen enthalten). Insbesondere die „regulären Begriffe“ sind von größerer Bedeutung als

z \to \infty

$z\to\infty$ als die Bedingungen, die Sie aufgeschrieben haben. Außerdem ist der führende Begriff when

z \to \infty

$z\to\infty$ enthält tatsächlich Informationen über die vollständige Vierpunktfunktion und nicht nur die Dreipunktfunktion, wie aus Ihrem Argument hervorgehen würde.

Peter Krawtschuk

Und schließlich – es erklärt das nicht

z^{- 4}

$z^{-4}$ Verhalten.

geniert

@PeterKravchuk "Dieses Argument funktioniert nicht, da Sie die Kurzstreckenerweiterung angeben, die nur konvergiert, wenn T näher an ϕ liegt als ϕ an jedem anderen Operator." Ich verstehe nicht, was das bedeutet. Ich nehme das Produkt zweier Operatoren und integriere sie, und das ist das Ergebnis. "Insbesondere die "regulären Terme" sind signifikanter ..." falsch, denn da sie analytisch sind, ist das Konturintegral aufgrund des Satzes von Cauchy Null.

geniert

"nicht nur die Drei-Punkte-Funktion, wie aus Ihrem Argument folgen würde ..." Das obige Argument kann auf jedes Produkt einer beliebigen Anzahl von Operatoren angewendet werden, indem Sie einfach das Verfahren wiederholen: Sie setzen vier, Sie erhalten die Vier-Punkte-Funktion (nach Annahme des Erwartungswertes).

Peter Krawtschuk

Sie versuchen, ein OPE zu verwenden. OPE ist in CFT konvergent, aber nur, wenn bestimmte Bedingungen erfüllt sind. Du schreibst ein OPE herum

w

$w$ , konvergiert genau dann, wenn keine anderen Operatoren näher eingefügt werden

w

$w$ als

z

$z$ . Wenn es mindestens drei Operatoren im Korrelator gibt (im OP-Fall sind es vier), dann ist dies notwendigerweise falsch, da

z

$z$ wird ins Unendliche gebracht. Die Konturintegrale werden verwendet, um die führenden Terme in dem von Ihnen geschriebenen OPE abzuleiten, aber dieses OPE selbst ist irrelevant.

Peter Krawtschuk

Aber selbst wenn es funktioniert hat, nehmen

z \to \infty

$z\to\infty$ würde die Terme, die Sie geschrieben haben, auf Null setzen, aber die Terme, die Sie weggelassen haben, würden unbegrenzt wachsen.

geniert

Man kann ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass es immer dann, wenn man das Produkt zweier Operatoren nimmt, eine Kontur gibt, die keinen anderen Operator enthält, ich sehe darin kein Problem. Ich verstehe auch nicht, warum du nehmen willst

z \to \infty

$z\to\infty$ : Die

n

$n$ -Punkt-Funktion ist singulär für

z \to w

$z\to w$ und regulär für einen der beiden, der sich der Unendlichkeit nähert. Die anderen Begriffe proportional zu

z

$z$ aufgrund des Satzes von Cauchy bereits integriert wurden, verstehe ich nicht, wie Sie sie nach der Integration wiederherstellen wollen.

Peter Krawtschuk

Ich möchte es gerne nehmen

z \to \infty

$z\to\infty$ denn das ist es, wonach OP fragt. Es kommt keine Konturintegration in Frage. Es wird nur verwendet, um die führenden Begriffe im OPE in Ihrer Antwort von den Ward-Identitäten abzuleiten. Die regulären Terme sind ungleich Null und tragen zum bei

n

$n$ -Punkt-Funktion, wenn Sie Ihr OPE im Geltungsbereich verwenden. Tatsächlich kann dieses OPE verwendet werden, um das Ganze auszuschreiben

n

$n$ -Punktfunktion mit einer Spannungsenergietensor-Einfügung in Bezug auf

(n - 1)

$(n-1)$ -point funktioniert, aber Sie tun dies nicht in Ihrer Antwort, und es geht nicht unmittelbar aus Ihrer Antwort hervor.

geniert

Können Sie ein Beispiel dafür geben

n

$n$ -Punkt-Funktion mit Termen, die regulär sind, dh nicht im Nenner vorkommen? Ich denke, wir meinen dasselbe, aber ich bin mir nicht sicher, ob wir dieselbe Terminologie verwenden (was ins Unendliche geht und was auf Null geht).

Peter Krawtschuk

Nehmen

⟨ T (x) T (y) T (z) ⟩ \propto \frac{1}{(x - y)^{2} (x - z)^{2} (y - z)^{2}}

$\langle T(x)T(y)T(z)\rangle \propto \frac{1}{(x-y)^2(x-z)^2(y-z)^2}$ . Wenn Sie die OPE zwischendurch nehmen

x

$x$ Und

y

$y$ herum sagen

y

$y$ und nur die Einzelbegriffe behalten, erhalten Sie eine Summe von Begriffen, die nur enthalten

(x - y)

$(x-y)$ Und

(z - y)

$(z-y)$ aber nein

(x - z)

$(x-z)$ . Es gibt Beiträge von unendlich vielen regulären Termen, die nach Zusammenfassung das richtige Ergebnis liefern. Sie können auch sehen, dass die

x - z

$x-z$ Faktor ist entscheidend, um das richtige Verhalten wie zu erhalten

x \to \infty

$x\to \infty$ . Tatsächlich entspricht die Berechnung dieses OPE der Erweiterung der ersten Formel im Kommentar als Funktion von

x

$x$ um

x = y

$x=y$ ...

Peter Krawtschuk

... und die singulären Begriffe im OPE geben nur das Stück wieder

\frac{1}{(x - y)^{2} (x - z)^{2} (y - z)^{2}} ≃ \frac{1}{(y - z)^{4} (x - y)^{2}} - \frac{2}{(y - z)^{5} (x - y)} + \dots

$\frac{1}{(x-y)^2(x-z)^2(y-z)^2}\simeq \frac{1}{(y-z)^4(x-y)^2}-\frac{2}{(y-z)^5(x-y)}+\ldots$ . Es ist offensichtlich, dass es Terme höherer Ordnung ungleich Null gibt

x - y

$x-y$ . Aus der Standardrechnung geht auch hervor, dass die vollständige Reihe nur dann konvergiert, wenn

| x - y | < | y - z |

$|x-y|<|y-z|$ , die für große verletzt wird

x

$x$ .

Warum verschwindet die Korrelationsfunktion des Energie-Impuls-Tensors wie z−4z−4z^{-4} in 2D CFT?

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