Korrelationsfunktionen und Verbindung zu Stationsidentitäten

Für jedes (lokale) Observable$\mathcal{O}$, sein Erwartungswert ist definiert als

Wo

heißt in der Tat die Partitionsfunktion . Mein Schreiben$S_E$soll zeigen, dass dies für eine euklidische Theorie (dh eine Theorie über eine Riemannsche Mannigfaltigkeit) gilt, für eine Minkowskische Theorie (dh eine Theorie über eine Lorentzsche Mannigfaltigkeit) müsste man einiges hinzufügen$\mathrm{i}$durch Dochtdrehung . Ich habe benutzt$\mathcal{D}\Phi$anstatt$[\mathrm{d}\Phi]$Um das Maß auf dem Raum von Feldkonfigurationen zu bezeichnen, sind beide Notationen weit verbreitet. Es ist wichtig anzumerken, dass dieses Maß in den meisten Fällen nicht streng konstruiert werden kann und nur in einem Regularisierungsverfahren definiert wird, aber Sie können es sich naiv als jede Art von Integration über den Raum aller möglichen Feldkonfigurationen vorstellen$\Phi : \Sigma \rightarrow \mathbb{R}$, Wenn$\Sigma$ist Ihre Raumzeit-Mannigfaltigkeit.

Nun, Ihre Intuition bezüglich dieser Sache ist im Grunde richtig -$\mathrm{e}^{-S_E[\Phi]}$ist in der Tat ein Boltzmann-ähnlicher Gewichtungsfaktor, der im QFT-Fall unterschiedliche Feldkonfigurationen gewichtet$\Phi$. Es ist offensichtlich, dass dieser Faktor maximal bei minimal sein wird$S_E[\Phi]$, also die klassisch realisierte Feldkonfiguration$\Phi_0$wofür$S_E[\Phi_0]$ist ein Minimum der Aktion, die am meisten zu diesem Integral beiträgt. Der Erwartungswert der Observablen ist zwar als exaktes Analogon zur klassischen statistischen Mechanik definiert.

Sie schreiben etwas über eine Transformation, und aus dem Kontext der Ward-Identitäten gehe ich davon aus, dass Sie von einer Eichtransformation sprechen, die eine Symmetrie der Theorie sein sollte. Explizit ist die Transformation infinitesimal gegeben durch

bei dem die$T^a$sind Erzeuger der Symmetriegruppe. Eine Symmetrie der Theorie zu sein bedeutet, dass keine Observable ihren Wert unter der Transformation ändern darf. Wir bezeichnen Größen nach Transformation durch Striche. Betrachtet man etwas Beobachtbares$\mathcal{O}$(dein$X$), das müssen wir haben

Wir nehmen nun an, dass unsere Symmetrie nicht-anomal ist, dh$\mathcal{D}\Phi' = \mathcal{D}\Phi$. Damit die Gleichheit gilt, gilt dann:

Wenn Sie jetzt erweitern$\mathrm{e}^{-\int\mathrm{d}^d x \partial_\mu j^\mu_a \omega_a(x)}$erstmal reinbestellen$\omega_a$, Sie erhalten$\langle \mathcal{O} \rangle$auf beiden Seiten der Gleichung, die sich aufhebt, und die verbleibenden Terme sind genau die Ward-Identitäten, dh die erste Gleichung, nach der Sie gefragt haben.

Die zweite Gleichung folgt aus der Durchführung der expliziten Transformation$\mathcal{O}$: (Angenommen, wie Sie sagten, dass die$G_a$sind die Generatoren$T^a$der Verwandlung): Schau nochmal nach$(1)$. Da du das gesagt hast$\mathcal{O}$ist eine Sammlung von Feldern, es ist

für einige$n$. Jetzt ausführen$(1)$auf jedem Feld$\Phi$und halten Sie nur die Bedingungen höchstens erster Ordnung ein$\omega_a$. Das ist genau dein$\delta \mathcal{O}$.

(Das ist "exakt", da wir sowieso eine infinitesimale Eichtransformation betrachten. Für dieses "Wegwerfen" von Termen höherer Ordnung gibt es strenge Grundlagen in der Lie-Theorie. Trotzdem ist es ziemlich wichtig, diese Tricks zu tragen, die der Physiker selbst so sehr mag , da die Antwort richtig ist.)