Spurlos vom Spannungs-Energie-Tensor in d=2d=2d=2

Ich denke, die ursprüngliche Quelle dieser Behauptung ist die berühmte unveröffentlichte Arbeit von Luescher und Mack . Alle zitieren es. Es ist mathematisch strenger und allgemeiner (sie gehen nicht von Parität aus) als Di Francesco. Es beginnt auf den Seiten 1-2 des Manuskripts. Der folgende Beweis ist im Grunde derselbe Beweis, nur mit zusätzlichen Details und einer etwas anderen Notation.

Annahmen: $T_{\mu\nu}$sind lokale kovariante Felder der Dimension 2 und

$$T^{\dagger}_{\mu\nu} = T_{\mu\nu}, \quad T_{\mu\nu} = T_{\nu\mu},\quad \partial^{\mu}T_{\mu\nu} = 0.$$ Darüber hinaus nimmt man an, dass die Korrelationsfunktionen wohldefiniert und verhalten sind und die üblichen CFT-Axiome erfüllen, wie z. B. auf dieser Seite von nLab angegeben .

Beweis: Zuerst definieren wir die 2-Punkt-Funktionen

$$S_{\mu\nu\rho\sigma}(\vec{x}, \vec{y}) := \text{analytic continuation of } \langle \Omega \mid T_{\mu\nu}(\vec{x}) T_{\rho\sigma}(\vec{y}) \mid \Omega \rangle.$$ Alle $S$sind translationsinvariant, also können wir genauso gut setzen $\vec{y}=0$damit wir übrig bleiben $$S_{\mu\nu\rho\sigma}(\vec{x}) := \langle \Omega \mid T_{\mu\nu}(\vec{x}) T_{\rho\sigma}(0) \mid \Omega \rangle.$$ Diese Funktion ist echt analytisch für $\vec{x}\in\mathbb{R}^2,\, \vec{x}\neq 0$, und wegen der Invarianz unter Dehnungen und der Annahme, dass $T_{\mu\nu}$'s sind von konformem Gewicht 2, wir haben

$$\begin{equation} S_{\mu\nu\rho\sigma}(\vec{x})=\lambda^4 S_{\mu\nu\rho\sigma}(\lambda \vec{x})\quad\forall\lambda\in\mathbb{R}.\quad\quad (1) \end{equation}$$ Außerdem ab $T_{\mu\nu}=T_{\nu\mu}$wir bekommen $$S_{\mu\nu\rho\sigma}(\vec{x})=S_{\nu\mu\rho\sigma}(\vec{x})=S_{\mu\nu\sigma\rho}(\vec{x}).\quad\quad (2)$$ Weiterhin nach Lokalität, Invarianz unter Translationen und Gleichung 1 mit $\lambda=-1$wir bekommen $$S_{\mu\nu\rho\sigma}(\vec{x},0)=S_{\rho\sigma\mu\nu}(0,\vec{x})=S_{\rho\sigma\mu\nu}(-\vec{x},0)=S_{\rho\sigma\mu\nu}(\vec{x},0),$$ oder in Kurzschreibweise $$S_{\mu\nu\rho\sigma}(\vec{x}) = S_{\rho\sigma\mu\nu}(\vec{x}) .\quad\quad (3)$$ Aus den Gleichungen 2 und 3 sehen wir das $S_{\mu\nu\rho\sigma}(\vec{x})$hat 6 unabhängige Komponenten und auch unter Berücksichtigung von Gleichung 1 können wir schreiben $$S_{\mu\nu\rho\sigma}(\vec{x}) = (\vec{x}^{\,2})^{-4}\sum_{i=1}^6 \alpha_i f^{\,i} _{\mu\nu\sigma\rho}(\vec{x}),\quad \alpha_i\in\mathbb{C},\quad\quad (4)$$ Wo $$\begin{align} &f^{1}_{\mu\nu\rho\sigma}(\vec{x})=(\vec{x}^{\,2})^2 g_{\mu\nu} g_{\rho\sigma},\\\\ &f^{2}_{\mu\nu\rho\sigma}(\vec{x})=(\vec{x}^{\,2})^2 (g_{\mu\rho} g_{\nu\sigma}+g_{\mu\sigma}g_{\nu\rho}),\\\\ &f^{3}_{\mu\nu\rho\sigma}(\vec{x})=\vec{x}^{\,2} (g_{\mu\nu} x_\rho x_\sigma + g_{\rho\sigma} x_\mu x_\nu ),\\\\ &f^{4}_{\mu\nu\rho\sigma}(\vec{x})=x_\mu x_\nu x_\rho x_\sigma,\\\\ &f^{5}_{\mu\nu\rho\sigma}(\vec{x})= \vec{x}^{\,2} \left (g_{\mu\nu} (x_\rho \varepsilon_{\sigma\delta}x^\delta+x_\sigma\varepsilon_{\rho\delta}x^\delta )+ g_{\rho\sigma} (x_\mu\varepsilon_{\nu\delta} x^\delta + x_\nu \varepsilon_{\mu\delta}x^\delta) \right),\\\\ &f^{6}_{\mu\nu\rho\sigma}(\vec{x})= \left( x_\mu \varepsilon_{\nu\delta}x^\delta +x_\nu \varepsilon_{\mu\delta}x^\delta \right) x_\rho x_\sigma + x_\mu x_\nu \left( x_\rho \varepsilon_{\sigma\delta}x^\delta + x_\sigma \varepsilon_{\rho\delta}x^\delta \right), \end{align}$$ Und $$g_{\mu\nu}=\delta_{\mu\nu},\quad \varepsilon_{\mu\nu}=-\varepsilon_{\nu\mu},\quad \varepsilon_{01}=+1,\quad \vec{x}^{\,2}=(x^0)^2+(x^1)^2.$$ Die Kontinuitätsgleichung $\partial^\mu T_{\mu\nu}=0$impliziert, dass $\partial^\mu S_{\mu\nu\rho\sigma}(\vec{x}) = 0$und verringert somit die Zahl der Selbständigen $\alpha_i$'s auf 2 beliebige Konstanten $\alpha_+$Und $\alpha_-$ (selbst mit Mathematica überprüft) : $$\begin{alignat*}{6} &\alpha_1 = 3 \alpha_+,\quad &&\alpha_2 = -\alpha_+,\quad \alpha_3 = -4\alpha_+,\quad \alpha_4 = 8\alpha_+,&\\ &\alpha_5 = \alpha_-,\quad &&\alpha_6 = -2\alpha_-. & \end{alignat*}$$ Durch Einsetzen dieser Werte in Gleichung 4 erhalten wir: $$S^{\mu}_{\;\mu\rho\sigma} (\vec{x}) = S^{\mu\;\rho}_{\;\mu\;\rho} (\vec{x}) = 0,$$ dh $\langle\Omega \mid T^\mu_{\;\mu}(\vec{x})\, T^\rho_{\;\rho} (0)\mid\Omega\rangle = 0$, was nach dem Satz von Reeh-Schlieder dies impliziert $T^\mu_{\;\mu}(\vec{x})=0$.

Um Reeh-Schlieder nun anwenden zu können, müssen wir tatsächlich hin$\vec{x}=0$wie Sie richtig darauf hingewiesen haben. Und der Grund, warum wir dies tun können, ist eine analytische Fortsetzung, die S. 110 von R. JOST zitiert: The General Theory of Quantized Fields, 1965 (derselbe Schritt in einem verwandten Lemma):

"Eine solche Wigtman-Verteilung verschwindet also in den realen Regularitätspunkten und damit bei analytischer Fortsetzung identisch".

tl;dr analytische Fortsetzung