Nachweis der Identität von Ward-Takahashi in Peskin und Schroeder Seite 311

Question

Nachweis der Identität von Ward-Takahashi in Peskin und Schroeder Seite 311

Physik
Symmetrie
Stationsidentität
Fourier-Transformation
Quantenfeldtheorie
Quantenelektrodynamik

ROBIN RAJ

Ich studiere die Ableitung der Identität von Ward Takahashi unter Verwendung von Peskin und Schroeder (Seite Nr. 311). Was ich aus seinen Aussagen verstehe, ist Folgendes für eine Änderung der Variablen

\begin{matrix} (9.100) & ψ (X) \to (1 + ich e a (X)) ψ (X) . \end{matrix}

$\begin{equation} \psi(x) \to(1+ie\alpha(x))\psi(x). \tag{9.100} \end{equation}$ Die QED-Lagrange-Dichte transformiert sich zu

\begin{matrix} (9.101) & L \to L - e \partial_{μ} a \bar{ψ} γ^{μ} ψ . \end{matrix}

$\begin{equation} \mathscr{L}\to \mathscr{L}-e\partial_\mu\alpha\overline{\psi}\gamma^\mu\psi. \tag{9.101} \end{equation}$ Ich habe seinen Aussagen bis hierhin zugestimmt. Dann sagt er

„Diese Transformation führt zu folgender Identität für das funktionale Integral über zwei Fermionenfelder
$\begin{matrix} (9.102) & \begin{aligned} 0 = \int D \bar{ψ} D ψ D A e^{ich \int D^{4} X L} {- ich \int D^{4} X \partial_{μ} a (X) [J^{μ} (X) ψ (X_{1}) \bar{ψ} (X_{2})] \\ + (ich e a (X_{1}) ψ (X_{1})) \bar{ψ} (X_{2}) + ψ (X_{1}) (- ich e a (X_{2}) \bar{ψ} (X_{2}))} \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} 0=\int\mathscr{D}\overline{\psi}\mathscr{D}\psi\mathscr{D}Ae^{i\int d^4x\mathscr{L}}\Bigg\{-i\int d^4x\partial_\mu\alpha(x)\Bigg[j^\mu(x)\psi(x_1)\overline{\psi}(x_2)\Bigg]\\+\bigg(ie\alpha(x_1)\psi(x_1)\bigg)\overline{\psi}(x_2)+\psi(x_1)\big(-ie\alpha(x_2)\overline{\psi}(x_2)\big)\Bigg\} \end{align} \tag{9.102}$ mit $j^\mu=e\overline{\psi}\gamma^\mu\psi$ . [...] Dividieren dieser Gleichung durch $Z$ gibt $\begin{matrix} (9.103) & \begin{aligned} ich \partial_{μ} ⟨ 0 | T J^{μ} (X) ψ (X_{1}) \bar{ψ} (X_{2}) | 0 ⟩ = - ich e δ (X - X_{1}) ⟩ ⟨ 0 | ψ (X_{1}) \bar{ψ} (X_{2}) | 0 ⟩ + ich e δ (X - X_{2}) ⟨ 0 | ψ (X_{1}) \bar{ψ} (X_{2}) | 0 ⟩ . \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} i\partial_\mu⟨0|Tj^\mu(x)\psi(x_1)\overline{\psi}(x_2)|0⟩=-ie\delta (x-x_1)⟩⟨0|\psi(x_1)\overline{\psi}(x_2)|0⟩ +ie\delta (x-x_2)⟨0|\psi(x_1)\overline{\psi}(x_2)|0⟩.\end{align} \tag{9.103}$ Um diese Gleichung in eine vertrautere Form zu bringen, berechnen Sie ihre Fourier-Transformation durch Integrieren $\begin{matrix} (9.104) & \int D^{4} X e^{- ich k \cdot X} \int D^{4} X_{1} e^{ich Q \cdot X_{1}} \int D^{4} X_{1} e^{- ich P \cdot X_{2}} . \end{matrix}$ $\begin{equation} \int d^4xe^{-ik\cdot x}\int d^4x_1e^{iq\cdot x_1}\int d^4x_1e^{-ip\cdot x_2}. \tag{9.104} \end{equation}$ Dann werden die obigen Amplituden wie folgt umgerechnet $\begin{matrix} (9.105) & - ich k_{μ} M^{μ} (k; P; Q) = - ich e M_{0} (P; Q - k) + ich e M_{0} (P + k; Q) . \end{matrix}$ $\begin{equation} -ik_\mu\mathscr{M}^\mu(k;p;q)=-ie\mathscr{M}_0(p;q-k)+ie\mathscr{M}_0(p+k;q). \tag{9.105} \end{equation}$ Das ist genau die Ward-Takahashi-Identität für zwei externe Fermionen."

Meine Fragen sind

Wie ist er gekommen
$\begin{matrix} (9.102) & \begin{aligned} 0 = \int D \bar{ψ} D ψ D A e^{ich \int D^{4} X L} {- ich \int D^{4} X \partial_{μ} a (X) [J^{μ} (X) ψ (X_{1}) \bar{ψ} (X_{2})] \\ + (ich e a (X_{1}) ψ (X_{1})) \bar{ψ} (X_{2}) + ψ (X_{1}) (- ich e a (X_{2}) \bar{ψ} (X_{2}))} ? \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} 0=\int\mathscr{D}\overline{\psi}\mathscr{D}\psi\mathscr{D}Ae^{i\int d^4x\mathscr{L}}\Bigg\{-i\int d^4x\partial_\mu\alpha(x)\Bigg[j^\mu(x)\psi(x_1)\overline{\psi}(x_2)\Bigg]\\+\bigg(ie\alpha(x_1)\psi(x_1)\bigg)\overline{\psi}(x_2)+\psi(x_1)\big(-ie\alpha(x_2)\overline{\psi}(x_2)\big)\Bigg\}~? \end{align} \tag{9.102}$
Beim Teilen dieser Gleichung durch $Z$ gibt
$\begin{matrix} (9.103) & \begin{aligned} ich \partial_{μ} ⟨ 0 | T J^{μ} (X) ψ (X_{1}) \bar{ψ} (X_{2}) | 0 ⟩ = - ich e δ (X - X_{1}) ⟩ ⟨ 0 | ψ (X_{1}) \bar{ψ} (X_{2}) | 0 ⟩ + ich e δ (X - X_{2}) ⟨ 0 | ψ (X_{1}) \bar{ψ} (X_{2}) | 0 ⟩, \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} i\partial_\mu⟨0|Tj^\mu(x)\psi(x_1)\overline{\psi}(x_2)|0⟩=-ie\delta (x-x_1)⟩⟨0|\psi(x_1)\overline{\psi}(x_2)|0⟩ +ie\delta (x-x_2)⟨0|\psi(x_1)\overline{\psi}(x_2)|0⟩,\end{align}\tag{9.103}$ wie hat er das bekommen?
Warum nimmt er bei der Fourier-Transformation $(-k,q,-p)$ als Satz von Impuls in exponentiell statt $(-k,-q,-p)$ ? Bitte helfen Sie mir, eine Intuition zu bekommen.

QMechaniker

Verstehen Sie die Herleitung der Schwinger-Dyson-Gleichungen ?

ROBIN RAJ

Ich habe es von Peskin und Shroeder gelesen, ich verstehe es mit einigen Kratzern irgendwo, ich werde später Zweifel daran haben @Qmechanic

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Verstehen Sie die Herleitung der Schwinger-Dyson-Gleichungen ?
Ich habe es von Peskin und Shroeder gelesen, ich verstehe es mit einigen Kratzern irgendwo, ich werde später Zweifel daran haben @Qmechanic

Mauro Giliberti · Answer 1

Sie müssen das Standard-Funktionsintegral nehmen $\int \mathcal{D}[\psi, \bar{\psi}, A] e^{i\int d^4x\mathcal{L}[\psi, \bar{\psi}, A]} (\psi \bar{\psi})$ und erweitern Sie sowohl die Felder als auch die Lagrange-Funktion. Unter Verwendung der Tatsache, dass das funktionale Maß $\mathcal{D}$ und das Integral als Ganzes invariant sind, haben Sie einen Term, der derselbe ist wie der nicht erweiterte (daher die $0=...$ ) und andere Begriffe, die Sie im Buch sehen können.
Die Definition der Korrelationsfunktion in Form des funktionalen Integrals kann als Integral der Felder (d. h. als Ableitung von) angegeben werden $Z[J]$ geschätzt auf $J=0$ ), geteilt durch $Z[0]$ . Beispiele dafür finden Sie auf den vorherigen Seiten des Buches.
Ich bin mir nicht sicher was du meinst. Warum hätte er wählen sollen $-q$ stattdessen?

1) Diese Änderung der Lagrangian wirkt sich nicht auf die Erzeugung von Funktions- und damit Korrelationsfunktionen aus. Warum passiert dies? @ Mauro Giliberti
@ROBINRAJ weil beides $\psi$ und seine Transformation $\psi '$ sind Lösungen derselben Bewegungsgleichung und gehen auf dasselbe erzeugende Funktional zurück. $\int \mathcal{D}[\psi, \bar{\psi}, A] e^{i\int d^4x\mathcal{L}[\psi, \bar{\psi}, A]} (\psi \bar{\psi})=\int \mathcal{D}[\psi' , \bar{\psi'}, A] e^{i\int d^4x\mathcal{L}[\psi', \bar{\psi'}, A]} (\psi' \bar{\psi'})$ und unter Verwendung der Tatsache, dass sich das funktionale Maß nicht ändert, erhalten Sie die obige Gleichung.
Gilt dies für nicht-infinitisimale Transformationen? @ Mauro Giliberti
Warum der Autor wechselwirkungsfreies Vakuum nimmt $(|0⟩)$ statt interagierendem Vakuum $(|\Omega⟩)$ @ Mauro Giliberti
@ROBINRAJ es gilt für jede Messgerättransformation, es ist die Definition der Messgerättransformation selbst. Es spricht von nicht-wechselwirkenden Vakuumzuständen, weil so die Erzeugungsfunktion in Bezug auf die Korrelationsfunktion definiert ist. Außerdem sind Kommentare nicht für längere Diskussionen gedacht: Wenn Sie weitere Fragen haben, sollten Sie diese als separate Posts schreiben.
Der Autor verwendet das interagierende Vakuum, um die Korrelationsfunktion zu definieren. Können Sie sich bitte auf die Gleichungen Nr. 9.18 und 9.81 von Peskin und Shroeder @Mauro Giliberti beziehen

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Mauro Giliberti

ROBIN RAJ

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