Können Sie eine U(1)LU(1)LU(1)_L-Symmetrie abschätzen?

Ich habe kürzlich die Einschleifenkorrektur für den Propagator eines Eichbosons berechnet,

$\hspace{5cm}$

Ich nahm willkürliche linke und rechte Kopplungen an,$g _L$Und$g _R$. Ich fand heraus, dass die One-Loop-Korrektur war,

$$\begin{equation} = \frac{ - 4i }{ ( 4\pi ) ^{ d / 2}} \int dx \frac{ \Gamma ( 2 - d / 2 ) }{ \Delta ^{ 2 - d /2 }} \left[ ( g _L ^2 + g _R ^2 ) x ( 1 - x ) \left( g _{ \mu \nu } - \frac{ p _\mu p _\nu }{ p ^2 } \right) + g _{ \mu \nu } ( g _L ^2 - g _R ^2 ) m ^2 \right] \end{equation}$$ Nun wissen wir auch, dass für a$U(1)$Invariante Theorie sollten wir die Ward-Identität haben und daher würde diese Ein-Schleifen-Korrektur von der Form sein, $$\begin{equation} \Pi _{ \mu \nu } = \Pi ( p ^2 ) \left( g _{ \mu \nu } - \frac{ p _\mu p _\nu }{ p ^2 } \right) \end{equation}$$ Damit dieser Propagator also aus a$U(1)$Invariante Theorie, müssen wir haben$g _L = g _R$(es sei denn, ich habe einen Fehler gemacht). Ich fand das sehr seltsam. Ist es nicht möglich, a zu messen$U(1) _L$Symmetrie und wenn ja warum?

Als Arbeitsbeispiel habe ich die folgende Theorie erfunden, die so aussieht, als könnte sie gemessen werden:

$$\begin{equation} {\cal L} = i \psi ^\dagger \bar{\sigma} ^\mu \partial _\mu \psi + i \chi \sigma ^\mu \partial _\mu \chi + \phi ^0 \chi \chi + \phi ^{+ + } \psi \psi + \phi \mbox{ terms} \end{equation}$$ Wo$\psi$ist ein linker chiraler Spinor und$\chi$ist ein rechter chiraler Spinor. Die Teilchen verwandeln sich unter der Symmetrie als $$\begin{equation} \psi \rightarrow e ^{ i \alpha } \quad \chi \rightarrow \chi \quad \phi ^0 \rightarrow \phi ^0 \quad \phi ^{ + + } \rightarrow e ^{ - 2i \alpha } \phi ^{ + + } \end{equation}$$ Dies scheint eine vollkommen gute Theorie zu sein, deren Symmetrie gemessen werden kann, aber wenn meine obige Schlussfolgerung aus irgendeinem Grund richtig ist, sollte ich dies nicht beurteilen können$U(1 ) _L$Symmetrie. Habe ich einen Fehler gemacht oder gibt es einen tieferen Grund, warum dies nicht möglich ist?