Identisch verschwindende Spur von TμνTμνT^{\mu\nu} und Spuranomalie

Question

Identisch verschwindende Spur von TμνTμνT^{\mu\nu} und Spuranomalie

Physik
Skaleninvarianz
Quantenanomalien
Quantenfeldtheorie
konforme-Feld-Theorie
Stress-Energie-Impuls-Tensor

apt45

Betrachten wir eine Theorie, die durch eine Wirkung auf einen flachen Raum definiert ist $S[\phi]$ Wo $\phi$ bezeichnet kollektiv die Felder der Theorie. Wir werden die Theorie auf einem allgemeinen Hintergrund studieren $g_{\mu\nu}$ und dann setzen wir die Metrik auf flach.

Die euklidische Zustandssumme der Theorie in Anwesenheit einer externen Quelle ist

\begin{matrix} (1) & Z [J] = \int [D ϕ] e^{- S - \int D^{D} X J Ö} \end{matrix}

$Z[J] = \int [d\phi] e^{-S -\int d^d x\, J \, \mathcal{O}}\tag 1$

Wo $\mathcal{O}$ kann entweder ein elementares oder ein zusammengesetztes Feld sein (im Folgenden nehmen wir es als Spur des Energie-Impuls-Tensors).

Nun ist ein sehr bekanntes Ergebnis, dass ein spurloser Energie-Impuls-Tensor konforme Invarianz impliziert; tatsächlich unter einer konformen Transformation $g_{\mu\nu} \rightarrow f(x)g_{\mu\nu}$ so dass

\partial_{(μ} ϵ_{v)} = F (X) G_{μ v}

$\partial_{(\mu}\epsilon_{\nu)} = f(x) g_{\mu\nu}$

die Aktion verwandelt sich wie

δ S = \frac{1}{D} \int D^{D} X T_{μ}^{μ} \partial_{ρ} ϵ^{ρ}

$\delta S = \frac{1}{d}\int d^d x T^{\mu}_\mu \partial_\rho \epsilon^\rho$

Nun besagt ein weiteres bekanntes Ergebnis, dass in einer generischen Hintergrundmetrik der Erwartungswert von $T^\mu_\mu$ nicht null ist, sondern von den Weyl-invarianten Tensoren und der Euler-Dichte abhängt, das heißt

⟨ T_{μ}^{μ} ⟩ = \sum A_{ich} E_{D} - C_{ich} W_{μ v ρ . . . .}^{2}

$\langle T^\mu_\mu \rangle = \sum a_i E_d - c_i W_{\mu\nu\rho....}^2$

Wo $\langle T^\mu_\mu \rangle$ wird üblicherweise durch die Variation des angeschlossenen Vakuumfunktionals definiert $W = \log Z[J]$ unter Variationen der Metrik.

Erste Frage. Ist $\langle T^\mu_\mu \rangle$ auf übliche Weise mit der Partitionsfunktion berechenbar? Das ist Einstellung $\mathcal{O} = T^\mu_\mu$ in Gl. (1) berechnen wir

\begin{matrix} (2) & ⟨ T_{μ}^{μ} ⟩ = \frac{δ}{δ J} Z [J] |_{J = 0} \end{matrix}

$\langle T^\mu_\mu \rangle = \frac{\delta}{\delta\, J} Z[J]\Big|_{J=0}\tag 2$

Zweite Frage. Wenn die Antwort auf die erste Frage JA ist, dann würde ich das erwarten $\langle T^\mu_\mu \rangle$ berechnet als Variation des angeschlossenen Vakuumfunktionals $W[J]$ ist dieselbe wie die in Gleichung (2) berechnete. Ist das wahr?

Dritte Frage.

Es gibt zwei Möglichkeiten, den klassischen spurlosen Zustand zu realisieren:

auf der Schale ; Dann, $T^{\mu}_\mu$ ist nicht identisch Null, aber es ist so, sobald Sie die Bewegungsgleichung anwenden, z $\lambda \phi^4$ Theorie in d=4.
$T^\mu_\mu$ ist identisch Null; das heißt, Sie müssen die Bewegungsgleichung nicht verwenden (z. B. masseloses Skalarfeld in d = 2 auf einem gekrümmten Hintergrund)

Im ersten Fall seit $T^\mu_\mu$ auf der Bewegungsgleichung verschwindet, stimme ich zu, dass sie durch die Kopplung der Theorie an einen gekrümmten Raum Quantenkorrekturen erhalten kann; alles ist ok.

Im zweiten Fall hingegen nämlich $T^\mu_\mu$ identisch Null ist, kann ich seinen Erwartungswert nicht aus Gl. (1) und Gl. (2) berechnen, da $\mathcal{O}=0$ identisch; das heißt, die RHS von Gleichung (2) ist Null, da Z[J] tatsächlich J-unabhängig ist. Dies würde bedeuten $\langle T^\mu_\mu \rangle=0$ .

Stimmt es immer noch, dass die Theorie auf einem gekrümmten Raumhintergrund eine Anomalie aufweist? Ich würde JA sagen, da die Anomalie nur von den zentralen Ladungen abhängt. Wie löst man diesen scheinbaren Widerspruch?

apt45

Sie erhalten einen Energie-Impuls-Tensor, der spurlos gemacht werden kann, sobald die Bewegungsgleichung angewendet wird

Benutzer110373

EOM hat hingegen eine Ableitung zweiter Ordnung auf Feldern

T_{μ ν} = \partial_{μ} ϕ \partial_{ν} ϕ - \frac{1}{2} η_{μ ν} (\partial ϕ)^{2} - \frac{λ}{24} η_{μ ν} ϕ^{4}

$T_{\mu\nu}=\partial_{\mu}\phi\partial_{\nu}\phi-\frac{1}{2}\eta_{\mu\nu}(\partial\phi)^2-\frac{\lambda}{24}\eta_{\mu\nu}\phi^4$ beinhaltet nicht

\partial^{2} ϕ

$\partial^2 \phi$ .

apt45

der Energie-Impuls-Tensor ergibt sich zu sein

T^{μ ν} = \partial^{μ} ϕ \partial^{ν} ϕ - η^{μ ν} L

$T^{\mu\nu} = \partial^\mu \phi \partial^\nu \phi -\eta^{\mu\nu} \mathcal{L}$ Wo

L

$\mathcal{L}$ ist der Lagrangian. Sie können es ändern, indem Sie eine totale Ableitung hinzufügen, sodass das Erhaltungsgesetz fo

T^{μ ν}

$T^{\mu\nu}$ ist nicht verdorben. Dann können Sie senden

T^{μ ν} \to T^{μ ν} - 1 / 6 (\partial^{μ} \partial^{ν} - η^{μ ν} ◻) ϕ^{2} = ϕ (◻ ϕ + λ / 3! ϕ^{3}) = 0

$T^{\mu\nu} \rightarrow T^{\mu\nu} - 1/6(\partial^\mu\partial^\nu - \eta^{\mu\nu}\square)\phi^2 = \phi(\square\phi + \lambda/3! \phi^3) = 0$ auf der Schale

Knzhou

@apt45 Hast du dafür irgendwann eine Lösung gefunden? Ich stoße auf das gleiche Problem - ich denke für einen freien masselosen Skalar

d = 2

$d = 2$ ,

T^{μ_{μ}}

$T^{\mu_\mu}$ verschwindet identisch.

Knzhou

Hat es vielleicht etwas damit zu tun, wie

T^{μ ν}

$T^{\mu\nu}$ ist in der Quantentheorie definiert? Das heißt, Sie brauchen so etwas wie eine normale Bestellung.

apt45

@knzhou Es tut mir leid, ich habe keine erschöpfende Antwort auf diese Frage gefunden. Eigentlich wäre es pädagogisch, die Berechnung der Spuranomalie in d=2 für ein freies Skalarfeld (wo das Hauptproblem auftritt) durchzugehen. Ich werde versuchen, mich so schnell wie möglich um dieses Problem zu kümmern. Wenn Sie vor mir eine Antwort erhalten, können Sie sie gerne erläutern.

apt45

@knzhou Entschuldigung, es ist eine Weile her und ich erinnere mich nicht sehr gut an die ursprüngliche Ausgabe. Jetzt verstehe ich. Wenn ich mich richtig an den Beweis erinnere, geht die Berechnung in d = 2 durch die Quantenwirkung, und ich konnte die beiden Berechnungen nicht zusammenbringen.

Knzhou

Mein Verständnis ist, dass der Betreiber

T_{μ ν}

$T_{\mu\nu}$ wird in der Quantentheorie als normales geordnetes Produkt definiert, vgl. Polchinski-Gl. 2.3.15 mit einem zusätzlichen Begriff. Also, wenn wir rechnen

⟨ T_{μ}^{μ} ⟩

$\langle T^\mu_\mu \rangle$ beim Pfadintegral müssen wir diesen Term einbeziehen, der nicht immer spurlos ist.

Yüan Yao

@knzhou Ihr Verständnis scheint nett zu sein! Habt ihr weitere Ideen dazu?

Antworten (1)

Identisch verschwindende Spur von TμνTμνT^{\mu\nu} und Spuranomalie

Sie erhalten einen Energie-Impuls-Tensor, der spurlos gemacht werden kann, sobald die Bewegungsgleichung angewendet wird
EOM hat hingegen eine Ableitung zweiter Ordnung auf Feldern $T_{\mu\nu}=\partial_{\mu}\phi\partial_{\nu}\phi-\frac{1}{2}\eta_{\mu\nu}(\partial\phi)^2-\frac{\lambda}{24}\eta_{\mu\nu}\phi^4$ beinhaltet nicht $\partial^2 \phi$ .
der Energie-Impuls-Tensor ergibt sich zu sein $T^{\mu\nu} = \partial^\mu \phi \partial^\nu \phi -\eta^{\mu\nu} \mathcal{L}$ Wo $\mathcal{L}$ ist der Lagrangian. Sie können es ändern, indem Sie eine totale Ableitung hinzufügen, sodass das Erhaltungsgesetz fo $T^{\mu\nu}$ ist nicht verdorben. Dann können Sie senden $T^{\mu\nu} \rightarrow T^{\mu\nu} - 1/6(\partial^\mu\partial^\nu - \eta^{\mu\nu}\square)\phi^2 = \phi(\square\phi + \lambda/3! \phi^3) = 0$ auf der Schale
@apt45 Hast du dafür irgendwann eine Lösung gefunden? Ich stoße auf das gleiche Problem - ich denke für einen freien masselosen Skalar $d = 2$ , $T^{\mu_\mu}$ verschwindet identisch.
Hat es vielleicht etwas damit zu tun, wie $T^{\mu\nu}$ ist in der Quantentheorie definiert? Das heißt, Sie brauchen so etwas wie eine normale Bestellung.
@knzhou Es tut mir leid, ich habe keine erschöpfende Antwort auf diese Frage gefunden. Eigentlich wäre es pädagogisch, die Berechnung der Spuranomalie in d=2 für ein freies Skalarfeld (wo das Hauptproblem auftritt) durchzugehen. Ich werde versuchen, mich so schnell wie möglich um dieses Problem zu kümmern. Wenn Sie vor mir eine Antwort erhalten, können Sie sie gerne erläutern.
@knzhou Entschuldigung, es ist eine Weile her und ich erinnere mich nicht sehr gut an die ursprüngliche Ausgabe. Jetzt verstehe ich. Wenn ich mich richtig an den Beweis erinnere, geht die Berechnung in d = 2 durch die Quantenwirkung, und ich konnte die beiden Berechnungen nicht zusammenbringen.
Mein Verständnis ist, dass der Betreiber $T_{\mu\nu}$ wird in der Quantentheorie als normales geordnetes Produkt definiert, vgl. Polchinski-Gl. 2.3.15 mit einem zusätzlichen Begriff. Also, wenn wir rechnen $\langle T^\mu_\mu \rangle$ beim Pfadintegral müssen wir diesen Term einbeziehen, der nicht immer spurlos ist.
@knzhou Ihr Verständnis scheint nett zu sein! Habt ihr weitere Ideen dazu?

M.Jo · Answer 1

Die Antwort auf Ihre ersten beiden Fragen ist positiv: $\langle T^\mu_\mu \rangle$ kann aus der Zustandssumme berechnet werden und ist dasselbe wie die Variation des verbundenen Vakuumfunktionals $W[J]$ . Bei Bedarf überlasse ich jemand anderem die Details eines Beweises.

Dann gibt es in Ihrer dritten Frage ein wenig Verwirrung: Die Tatsache, dass es eine Anomalie gibt, sagt Ihnen genau das $T^\mu_\mu$ ist im gekrümmten Raumhintergrund nie identisch Null (außer vielleicht in ganz speziellen Fällen, aber dann gibt es keine Anomalie). Die Terme, die Sie in Ihre Anomalie geschrieben haben, dh die Euler-Dichte und das Quadrat des Weyl-Tensors, sind Krümmungstensoren, die im flachen Raum verschwinden. So finden Sie immer $\langle T^\mu_\mu \rangle = 0$ mit dieser Anomalie.

Aber das bedeutet noch lange nicht $T^\mu_\mu$ ist identisch Null: Sie könnten noch haben

⟨ T_{μ}^{μ} Ö_{1} \dots Ö_{N} ⟩ \neq 0.

$\langle T^\mu_\mu \mathcal{O}_1 \cdots \mathcal{O}_n \rangle \neq 0.$ Die Frage, ob alle solche Korrelatoren in einer Theorie verschwinden, in der

⟨ T_{μ}^{μ} ⟩ = 0

$\langle T^\mu_\mu \rangle = 0$ ist immer noch nicht vollständig in Dimensionen aufgelöst

d > 2

$d > 2$ .

Wenn Sie mehr zu diesem Thema lesen möchten, schlage ich vor, sich https://arxiv.org/abs/1302.0884 und die darin enthaltenen Referenzen anzusehen.

Hallo M.Jo. Die Tatsache, dass im gekrümmten Raum eine Anomalie vorhanden ist, sagt mir, dass der Erwartungswert der Spur (auf einem gekrümmten bkg) von Null verschieden ist. Die Anomalie, die ich geschrieben habe, sagt nichts über ihren klassischen Ausdruck aus. Der Widerspruch ist leicht zu lösen, wenn irgendeine Theorie über eine gekrümmte Raumzeit eine Energie-Impuls-Spur hat, deren Spur klassischerweise ohne Verwendung von Bewegungsgleichungen nicht identisch Null sein kann. Aber ich weiß nicht, ob es stimmt
Ich kann Ihnen ein Gegenbeispiel geben: Die masselose skalare Feldwirkung in d=2 hat a $T^\mu_\mu=0$ sogar im gekrümmten Raumhintergrund. Aber in diesem Fall ist die Anomalie immer noch vorhanden, richtig?
@apt45 Bist du dir sicher $T^\mu_\mu$ ist in diesem Fall identisch Null? Meine Vermutung ist, dass es nur auf der Bewegungsgleichung verschwindet, und es gibt keinen Widerspruch. Sonst würdest du mir das sagen $\langle T^\mu_\mu \rangle \neq 0$ Aber $T^\mu_\mu$ ist als Operator genau Null???
@M.Jo Es ist identisch Null und es ist nicht schwer zu zeigen; die Spur ist $(\partial_\mu \phi)(\partial^\mu \phi) - \delta^\mu_\mu (1/2)(\partial_\nu \phi)^2 = 0$ sogar aus der Schale. Ich habe die gleiche Frage wie der OP und würde mich sehr über etwas Klarheit freuen!
@knzhou, ich denke, die Anomalie modifiziert die klassische Form des Energie-Impuls-Tensors. Die Form, die Sie notiert haben, ergibt sich aus der Variation der Aktion in Bezug auf eine Verschiebung in der Positionskoordinate des Feldes. Die Idee der Anomalie ist nun, dass in der gekrümmten Raumzeit ein zusätzlicher Beitrag von der Messung kommt. Dies wird normalerweise nicht als Änderung der Form von notiert $T_{\mu\nu}$ aber ich denke genau das tut es.

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