Wie bestimmt man die Korrelationslänge, wenn die Korrelationsfunktion als Potenzgesetz zerfällt?

Ich studiere ein System, für das ich einen Potenzgesetzzerfall in der Korrelationsfunktion beobachte: ⟨ S ( 0 ) ⋅ S ( R ) ⟩ ∝ R − a

Ich interessiere mich für die Berechnung der Korrelationslänge ( ξ ) für dieses System, aber ich weiß nicht wie. Typischerweise nimmt man an ⟨ S ( 0 ) ⋅ S ( R ) ⟩ ∝ exp ⁡ ( − R / ξ ) und dann ist es einfach zu extrahieren ξ als Negativ der Steigung eines Diagramms von Protokoll ⁡ ( ⟨ S ( 0 ) ⋅ S ( R ) ⟩ ) vs. R . In meinem System ist ein solches Diagramm jedoch nichtlinear, aber das finde ich Protokoll ⁡ ( ⟨ S ( 0 ) ⋅ S ( R ) ⟩ ) vs. Protokoll ⁡ ( R ) ist linear. Für verschiedene Zustände des Systems der Exponent a des Potenzgesetzzerfalls reicht von ca 0,29 bis etwa 0,69 .

1. Wie kann ich die Korrelationslänge in einem solchen System berechnen?

Und...

2. Was bedeutet dieser Potenzabfall in der Korrelationsfunktion?

Antworten (2)

Lassen C ( R ) sei die Korrelationsfunktion. Die Korrelationslänge ist definiert als

ξ = − lim R → ∞ R Protokoll ⁡ C ( R )

Wenn C ( R ) langsamer abfällt als ein Exponential, die obige Grenze divergiert, und ξ = ∞ . Wenn es schneller zerfällt, ξ = 0 .

Ein Potenzgesetz-Verhalten ist typisch für skaleninvariante Systeme, wie z. B. eine CFT .

Diese Formel ist super nützlich. Könnten Sie bitte eine Referenz dafür angeben?
Hallo @SayanMandal. Leider habe ich keine wirkliche Referenz. Der "Beweis" ist jedoch einfach: Lass es einfach C ( R ) ∼ e − R / ξ und löse nach ξ . Beifall!
Hallo @AccidentalFourierTransform, vielen Dank. Ich habe mich über die gewundert R → ∞ Grenze. Ich denke, das hat mit der Betrachtung von Effekten im großen Maßstab zu tun.

Zerfällt die Korrelationsfunktion als Potenzgesetz, dann sind die Korrelationen skaleninvariant (d. h. C ( λ R ) = λ − a C ( R ) ), was eine andere Art zu sagen ist, dass es keine (makroskopische) Längenskala gibt. Mit anderen Worten, es gibt keine Korrelationslänge, und man sagt normalerweise, dass sie unendlich ist (da skaleninvariante Korrelationen aus der Grenze erhalten werden können ξ → ∞ einer nicht skalierten invarianten Funktion).

Wenn das System eine endliche Korrelationslänge hat, kann man dies in Simulationen für kleine Impulse annehmen Q ,

C ( Q ) = C ( 0 ) 1 + Q 2 ξ 2 .
Da die Simulationen auf endlicher Systemgröße durchgeführt werden L , ist der kleinste Impuls ungleich Null Q = 2 π / L , und eine Schätzung der Korrelationslänge ist
ξ S ich M = L 2 π C ( 0 ) C ( 2 π / L ) − 1 .
In der Grenze großer Systemgrößen konvergiert dies zur wahren Korrelationslänge, während sie divergiert, wenn das System skaleninvariant ist.

Bezüglich der Bedeutung eines Potenzgesetzzerfalls gibt es typischerweise zwei Möglichkeiten. Einer ist, dass sich das System am kritischen Punkt eines Phasenübergangs (zweiter Ordnung) befindet, wo die Korrelationslänge divergiert. Eine andere Möglichkeit besteht darin, dass sich das System in einer gebrochenen Symmetriephase (einer kontinuierlichen Symmetrie) befindet, in der Goldstone-Moden die Physik auf große Entfernung dominieren, da sie per Definition lückenlos sind.

Wie bestimmt man die Korrelationslänge, wenn die Korrelationsfunktion als Potenzgesetz zerfällt?
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