Der Helizitätsoperator h=p^⋅Sh=p^⋅Sh=\hat p \cdot S hängt mit der Chiralität masseloser Fermionen auch in anderen Dimensionen zusammen? (außer 4d)

Ist der Helizitätsoperator H = P ^ ⋅ S wie die in Gleichung (3.54) des Peskin-QFT-Buchs definierte in anderen Dimensionen wohldefinierte? Zum Beispiel konzentrierte sich Peskin auf den 3D-Raum und die 1D-Zeit (4d). Der Helizitätsoperator H = P ^ ⋅ S hängt mit der Chiralität masseloser Fermionen in diesem 4d zusammen.

Meine Frage ist, ob der Helizitätsoperator

H = P ^ ⋅ S
hängt auch die Chiralität masseloser Fermionen auch in anderen Dimensionen zusammen? (außer 4d)

Zum Beispiel können wir im 1d-Raum und 1d-Zeit (2d) immer noch ein sich nach links bewegendes Fermion haben ( P ^ < 0 ) und rechtslaufendes Fermion ( P ^ > 0 ). Wie sieht es mit ihren Drehungen aus? Es scheint, dass ihre Spins mit ihrem Impuls verbunden sind, wir können zum Beispiel sagen, dass ein Fermion, das sich nach links bewegt, einen Spin nach oben hat ( S > 0 ), während das sich nach rechts bewegende Fermion einen Spin nach unten hat ( S < 0 ).

Dann sehen wir, dass das sich nach links bewegende Fermion ( P ^ < 0 , S > 0 )

H = P ^ ⋅ S < 0 ,
das sich nach rechts bewegende Fermion ( P ^ > 0 , S < 0 )
H = P ^ ⋅ S < 0.

Sie haben also nicht die unterschiedliche Helizität H Wenn H = P ^ ⋅ S ist die Art, Helizität zu definieren. Denn die Chiralität lässt sich nach links verschieben − chirales, rechtsdrehendes Fermion sein kann + chiral. Sie sollten unterschiedliche Vorzeichen haben.

Wie wäre es mit anderen geraden Raum-Zeit-Dimensionen, wenn wir Chiralität definieren können? Können wir eine Analogie der Helizitätsoperatoren finden? Wie man solche definiert H ?

Ich sehe hier drei Fragen. (1) Welche Beziehung besteht gegebenenfalls zwischen Helizität und Chiralität? D ≠ 4 dimensionale Raumzeit? (2) Wann ist Chiralität definiert? (3) Wie ist Helizität definiert in D ≠ 4 dimensionale Raumzeit? Die Fragen (2) und (3) sind Voraussetzungen für (1). Frage (3) ist fast ein Duplikat von Analog der Helizität in höheren Dimensionen und konkreter Formel , aber nicht ganz. Kennen Sie sich für (2) mit Clifford-Algebra und Spinoren aus? Kennen Sie für (3) das Konzept der „kleinen Gruppe“ im Zusammenhang mit masselosen Teilchen?
danke - was du geschrieben hast, ist sehr hilfreich. Vielleicht können Sie auf eine Antwort aktualisieren. Ich weiß, dass Chiralität definiert werden kann, wenn Sie ein Gamma5 in geraden Raumzeitdimensionen haben.
Chiralität ist nur in der geraddimensionalen Raumzeit definiert und immer binär (die einzigen Optionen sind linkshändig und rechtshändig). Im Gegensatz dazu ist die Helizität nicht immer binär. In der 2-dimensionalen Raumzeit (1-dimensionaler Raum) existiert kein Drehimpuls, weil die Rotationsgruppe trivial ist. In 2 N -dimensionale Raumzeit für 2 N ≥ 4 , ein masseloses Teilchen hat a 2 N − 2 linear unabhängige Helizitätszustände für jede Chiralität. So für 2 N ≥ 6 , hat ein masseloses Teilchen ein Kontinuum möglicher Helizitätszustände (für jede Chiralität) statt nur einem. Ist es das, wonach Sie suchen?

Antworten (1)

In einer allgemeinen Raum-Zeit-Dimension ist die Helizität der Eigenwert einer Rotation, die die Bewegungsrichtung unverändert lässt. Die Gruppe solcher Rotationen wird als „kleine Gruppe“ bezeichnet. Für ein masseloses Teilchen spielt die kleine Gruppe eine besonders wichtige Rolle, da es nicht möglich ist, dieses Teilchen in ein Ruhesystem zu bringen, in dem alle Rotationen eine gleichwertige Rolle spielen.

In 4 Dimensionen ist die kleine Gruppe U(1), die Rotationsgruppe um die Bewegungsrichtung. Dieser hat einen Generator, der genau der Projektion entspricht S → entlang der Bewegungsrichtung, also der üblichen Helizität. Dies ist eine sehr einfache Situation. In 2 Dimensionen gibt es keine kleine Gruppe. In 6 Dimensionen ist die kleine Gruppe SO(3) oder SU(2).

Ich beschränke mich hier auf gerade Dimensionen, denn dort ist es Γ , die Chiralität, ist definiert. In 2 Dimensionen, Γ = γ 0 γ 1 , in 4 Dimensionen in ist das Übliche γ 5 usw. In allgemeinen Abmessungen ist die minimale Größe der Darstellung für einen Dirac-Spinor 2 [ D / 2 ] , das heißt 2 in 2 oder 3 Dimensionen, 4 in 4 oder 5 Dimensionen und 8 in 6 oder 7 Dimensionen. In geraden Dimensionen ist es möglich, die masselose Spinor-Darstellung mit Chiralität in zwei Teile aufzuspalten ( Γ Eigenwerte) +1 und -1. Diese haben die Abmessungen 1 in 2-d, 2 in 4-d und 4 in 6-d. In 2-d (1 Raumdimension), die Γ = + 1 Eigenzustand ist Fermion, das sich nur mit Lichtgeschwindigkeit entlang der Linie nach rechts bewegt, und die Γ = − 1 Zustand ist ein Fermion, das sich entlang der Linie nach links bewegt. In 4-d sind die Chiralitäts-Eigenzustände die üblichen rechts- und linkshändigen Spinoren. In 6-d besteht die 4-dimensionale Darstellung aus zwei Darstellungen, die beide SU(2)-Spinoren sind. In Reduktion auf 4 Dimensionen zerfällt diese Darstellung als

4 → ( + 1 , 2 , 1 ) + ( − 1 , 1 , 2 )
wobei die erste Quantenzahl die ist Γ Eigenwert und die nächsten beiden sind die ( J R , J L ) Quantenzahlen der S Ö ( 3 , 1 ) Darstellung. Für diejenigen, die darauf eingestimmt sind, ist die 4 in 6 Dimensionen „vektorartig“, wenn sie auf 4 Dimensionen reduziert wird.

Diese Art der Analyse kann in jeder geraden Dimension durchgeführt werden. Es ist notwendig, auch die Möglichkeit von Majorana-Fermionen zu berücksichtigen. In den Dimensionen 2, 10, … können Spinoren sowohl chiral als auch Majorana sein, was die Freiheitsgrade weiter reduziert. Das alles wird in Büchern über Supersymmetrie ausgearbeitet, für die die Größe von Spinordarstellungen in höheren Dimensionen wichtig ist. Ich empfehle die Behandlung in „Supergravity“ von Freedman und van Proeyen.

Der Helizitätsoperator h=p^⋅Sh=p^⋅Sh=\hat p \cdot S hängt mit der Chiralität masseloser Fermionen auch in anderen Dimensionen zusammen? (außer 4d)
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