Kantentheorie von FQHE - Unfähig, Greensche Funktion aus Antikommutierungsbeziehungen und Bewegungsgleichung zu erzeugen?

Question

Kantentheorie von FQHE - Unfähig, Greensche Funktion aus Antikommutierungsbeziehungen und Bewegungsgleichung zu erzeugen?

Physik
kondensierte Materie
Quanten-Hall-Effekt
Quantenfeldtheorie
konforme-Feld-Theorie

Gregor Graviton

Ich studiere die Kantentheorie des fraktionierten Quanten-Hall-Effekts (FQHE) und bin auf einen merkwürdigen Widerspruch bezüglich des Bosonisierungsverfahrens gestoßen, den ich nicht lösen kann. Hilfe!

Betrachten Sie insbesondere die ersten paar Seiten von XG Wens Artikel "Theory of the edge states in Fractional Quantum Hall Effects" . Hier definiert Wen ein fermionisches Feld $\Psi(x,t)$ in (1+1)-Dimensionen in Bezug auf ein bosonisches Feld $\phi(x,t)$ wie

Ψ (x, t) \propto e^{ich \frac{1}{v} ϕ (x, t)} .

$\Psi(x,t) \propto e^{i\frac{1}{\nu}\phi(x,t)} .$

Die Nummer $\nu$ ist der Füllanteil des FQHE, auf den wir uns einstellen werden $\nu=1/3$ der Einfachheit halber. Das bosonische Feld erfüllt die etwas seltsamen Vertauschungsbeziehungen

[ϕ (x, j), ϕ (j, t)] = ich π v Zeichen (x - j)

$[\phi(x,y),\phi(y,t)] = i\pi\nu\,\text{sgn}(x-y)$

die notwendig sind, um zu machen $\Psi(x,t)$ Antikommutieren wie ein echtes Fermion

{Ψ (x, t), Ψ^{†} (j, t)} = δ (x - j) .

$\lbrace \Psi(x,t), \Psi^\dagger(y,t) \rbrace = \delta(x-y) .$

Außerdem erfüllt das bosonische Feld die Bewegungsgleichung

(\partial_{t} - v \partial_{x}) ϕ (x, t) = 0 .

$(\partial_t-v\partial_x) \phi(x,t) = 0 .$

Einige Operatoralgebra zeigt das $\Psi(x,t)$ ist auch eine Lösung dieser Bewegungsgleichung. Mir scheint jedoch, dass diese beiden Forderungen, Antikommutierung und Bewegungsgleichung, bereits die Greensche Funktion des Fermions festlegen!

Wen fährt jedoch fort zu bemerken, dass diese Fermionen die Green-Funktion haben (Gleichung (2.12) in der Abhandlung)

G (x, t) = ⟨ T (Ψ^{†} (x, t) Ψ (0)) ⟩ = \exp [⟨ \frac{1}{v^{2}} ϕ (x, t) ϕ (0) ⟩] \propto \frac{1}{(x - v t)^{1 / v}} .

$G(x,t) = \langle T(\Psi^\dagger(x,t) \Psi(0)) \rangle = \exp[\langle\frac1{\nu^2}\phi(x,t)\phi(0)\rangle] \propto \frac{1}{(x-vt)^{1/\nu}} .$

Ich verstehe nicht, wie das sein kann. Schließlich können wir aus den Antikommutierungsbeziehungen und der Bewegungsgleichung die Greensche Funktion zu berechnen

G (x, t) \propto \frac{1}{x - v t} .

$G(x,t) \propto \frac{1}{x-vt} .$

Definieren Sie dazu Fourier-Modi $\Psi_k, \Psi^\dagger_k$ , erhalten für diese die üblichen Antikommutierungsrelationen, lösen die Bewegungsgleichung und transformieren zurück in den realen Raum. Das Ergebnis wird wie angegeben sein, und der Exponent $1/\nu$ wird fehlen.

Woher kam der Exponent $1/\nu$ gehen? Was ist falsch daran, die Greensche Funktion aus den Antikommutierungsbeziehungen und der Bewegungsgleichung zu berechnen?

Vielleicht ist da drinnen was los $\delta(x-y)$ Teil der Antikommutierungsbeziehungen? Wenn ja, was genau? Oder vielleicht etwas über den Grundzustand? Oder etwas über das Bosonisierungsverfahren als Ganzes?

José Figueroa-O'Farrill

Berücksichtigen Sie das normal bestellte Produkt bei der Definition richtig?

Ψ

$\Psi$ ?

Gregor Graviton

@JoséFigueroa-O'Farrill: Nein, aber das sollte die Antikommutierungsbeziehungen und die Bewegungsgleichung nicht beeinflussen? Der Grundzustand mag unterschiedlich sein, aber ich kann mir nur schwer vorstellen, wie ein anderer Grundzustand zu einem anderen Exponenten in der Greens-Funktion führen könnte.

José Figueroa-O'Farrill

Eigentlich tun sie es. Diese Art der Berechnung ist typisch für die konforme Feldtheorie, ein Thema, mit dem ich mich viel wohler fühle als mit dem FQHE. In CFT sind die bosonischen Felder nicht lokal, aber ihre Strömungen sind es. Die Vertauschungsrelationen der Bosonen lassen sich aus ihrer Operatorproduktentwicklung ablesen, die logarithmisch ist. Die Berechnung der Zweipunktfunktion normalgeordneter Exponentiale findet sich an vielen Stellen; zB §6.3.2 in "Conformal field theory" von Di Francesco, Mathieu und Sénéchal.

Antworten (2)

Kantentheorie von FQHE - Unfähig, Greensche Funktion aus Antikommutierungsbeziehungen und Bewegungsgleichung zu erzeugen?

Berücksichtigen Sie das normal bestellte Produkt bei der Definition richtig? $\Psi$ ?
@JoséFigueroa-O'Farrill: Nein, aber das sollte die Antikommutierungsbeziehungen und die Bewegungsgleichung nicht beeinflussen? Der Grundzustand mag unterschiedlich sein, aber ich kann mir nur schwer vorstellen, wie ein anderer Grundzustand zu einem anderen Exponenten in der Greens-Funktion führen könnte.
Eigentlich tun sie es. Diese Art der Berechnung ist typisch für die konforme Feldtheorie, ein Thema, mit dem ich mich viel wohler fühle als mit dem FQHE. In CFT sind die bosonischen Felder nicht lokal, aber ihre Strömungen sind es. Die Vertauschungsrelationen der Bosonen lassen sich aus ihrer Operatorproduktentwicklung ablesen, die logarithmisch ist. Die Berechnung der Zweipunktfunktion normalgeordneter Exponentiale findet sich an vielen Stellen; zB §6.3.2 in "Conformal field theory" von Di Francesco, Mathieu und Sénéchal.

David Bar Mosche · Answer 1

Ich verstehe, dass Sie den Fermionenpropagator im Operatorformalismus berechnen möchten (im Gegensatz zum Pfadintegralformalismus, bei dem das gleiche Ergebnis erzielt werden kann). Dann ist nach Josés Bemerkung die Fermionisierungsformel korrekt, dh sie gibt die kanonischen Antikommutierungsbeziehungen genau dann an, wenn sie normal geordnet ist:

$\psi(z) = :\exp(i \frac{1}{\nu}\phi(z)): = \exp(i \frac{1}{\nu}\phi_+(z)) \exp(i \frac{1}{\nu}\phi_-(z))$

wo $\phi_+(z)$ ( $\phi_-(z)$ ) enthält nur die Abhängigkeit der Erzeugungs- (Vernichtungs-) Feldkomponenten.

Die in der Frage angegebene Fermionenpropagatorformel ist eine Folge der Produktformel zweier normal geordneter Exponentiale:

$:\exp(ia\phi(z_1))::\exp(ib\phi(z_2)): =:\exp(ia\phi(z_1)+ib\phi(z_2)):exp(-ab\langle \phi(z_1) \phi(z_2)\rangle)$ .

Diese Formel kann mit der Baker-Campbell-Hausdorff-Formel unabhängig für jeden Modus leicht verifiziert werden

Nun bezieht sich die Berechnung auf das Bosonenvakuum, und das ist der Grund, warum der Fermionenpropagator die Leistungsabhängigkeit hat.

Also im Grunde sagst du das $|0\rangle$ ist der Vakuumzustand für die Bosonenmoden, $\phi_{-}(z)|0\rangle=0$ , und dass es sich sehr vom üblichen Grundzustand (Fermi-Meer) für Fermionen unterscheidet, dh wir haben $\Psi_k|0\rangle\neq 0$ ? Ich wäre an einer Back-of-the-Envelope-Berechnung interessiert, die zeigt, wie ein "ungewöhnlicher" Fermion-Grundzustand zu einer anderen Leistungsabhängigkeit der Greens-Funktion führen kann.
(Nachtrag: Die Idee ist, dass ich alle Bosonen vergessen möchte, sobald ich meine Fermion-Antikommutierungsbeziehungen und die Bewegungsgleichungen und den Grundzustand habe.)
Erweiterung der letzten Aussage in der Antwort: Die bosonische Theorie ist eine Freifelddarstellung einer wechselwirkenden fermionischen Theorie. Siehe Schulz, Cuniberti, Pieri arxiv.org/abs/cond-mat/9807366 . Die Lösung durch Bosonisierung ist eigentlich eine Bogolyubov-Transformation (die Vernichtungs- und Erzeugungsoperatoren mischt und so den Vakuumzustand "freies Fermion" in den exakten Vakuumzustand umwandelt.
Forts. Wenn man nun ausschließlich mit Fermion-Operatoren arbeiten möchte, ist es möglich, die Bose-Operatoren als Bilineare in den Fermi-Operatoren auszudrücken, siehe zum Beispiel Rao und Sen: arxiv.org/abs/cond-mat/0005492 Abschnitt 2.1., aber dies kehrt nur die Bogolyubov-Transformation um.
Vielen Dank, insbesondere für die letzte Referenz, die meiner Meinung nach eine der klarsten Einführungen in die Bosonisierung mit Operatoren ist. Es zeigt, wie sich der Fermion-Grundzustand vom üblichen unterscheidet. Sie haben mir zwar nicht direkt auf meine Frage geantwortet, aber Sie haben mir sehr geholfen, und ich werde Ihre Antwort akzeptieren.

Xiao-Gang Wen · Answer 2

An dieser Stelle möchte ich einige ergänzende Bemerkungen machen.

1) In Gl. (2.11) des zitierten Artikels ist die Korrelation des Bosonenfeldes angegeben $\langle\phi(x,t)\phi(0)\rangle =-\nu \ln(x-vt)$ . Damit können wir rechnen $G(x,t) = \langle T(\Psi^\dagger(x,t) \Psi(0)) \rangle = \exp[\langle\frac1{\nu^2}\phi(x,t)\phi(0)\rangle] \propto \frac{1}{(x-vt)^{1/\nu}}$ .

2) Es ist nicht richtig zu schreiben $\lbrace \Psi(x,t), \Psi^\dagger(y,t) \rbrace = \delta(x-y)$ , da hier $\Psi(x,t)$ ist nicht der bloße Elektronenoperator. $\Psi(x,t) = exp(i\phi(x,t)/\nu)$ ist nur die Projektion des nackten Elektron-Operators in den Niederenergie-Unterraum. Also haben wir $\Psi(x,t) \Psi^\dagger(y,t) = (-)^{1/\nu}\Psi^\dagger(y,t) \Psi(x,t) =-\Psi^\dagger(y,t) \Psi(x,t)$ Wenn $1/\nu =$ ungerade ganze Zahl. Aber $\lbrace \Psi(x,t), \Psi^\dagger(y,t) \rbrace = \delta(x-y)$ das ist nicht richtig.

Also, im Grunde sagst du das für $x≠y$ wir haben $\lbrace \Psi(x,t), \Psi^\dagger(y,t) \rbrace = 0$ , aber für $x=y$ die Delta-Funktion ist anders als die übliche? Ist die Form dieser Deltafunktion bekannt?
@Greg: Du hast Recht. Für x=y darf der Antikommutator nicht a sein $\delta$ -Funktion.

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