Welche Bedeutung hat der magnetische Übersetzungsoperator, der zur Beschreibung des fraktionalen Quanten-Hall-Effekts verwendet wird ? Ich habe Anthony Leggetts Vorlesungsvideo verfolgt, in dem er diese Operatoren definiert und ihre Kommutierungsbeziehung beschreibt, um die Entartung des Grundzustands zu finden. Hat es als solches eine physikalische Bedeutung oder ist es nur ein mathematisches Konstrukt, um ein Ergebnis über die Entartung des Grundzustandes zu beweisen?
Ein quantenmechanisches Modell, in dem die magnetischen Translationsoperatoren beobachtbar sind, ist ein geladenes Teilchen, das sich auf einem zweidimensionalen Torus im Hintergrund eines gleichförmigen Magnetfelds senkrecht zur Torusoberfläche bewegt. Siehe zum Beispiel den folgenden Artikel von E. Onofri.
Der Hamilton-Operator ist der magnetische Schrödinger-Operator und der Grundzustand ist das niedrigste Landau-Niveau. Die vollständige Lösung zeigt, dass die Entartung des niedrigsten Landau-Niveaus gleich dem magnetischen Fluss durch die Torusoberfläche ist. Daher muss der magnetische Fluss quantisiert werden. Dies ist die Dirac-Quantisierungsbedingung. (Es gibt viele andere Möglichkeiten, dieses Ergebnis ohne die Notwendigkeit der vollständigen Lösung zu beweisen, da die Dirac-Quantisierungsbedingung ein Sonderfall des Indexsatzes ist ).
Eine Basis von Wellenfunktionen des untersten Landau-Niveaus können die Jacobi-Theta-Funktionen sein . Wo ist die komplexe Koordinate auf dem Torus, ist proportional zum Verhältnis zwischen den Torusgeneratoren und nimmt ganzzahlige Werte zwischen und die magnetische Ladung .
Der Hauptunterschied des Landau-Problems auf dem Torus-Fall von der Ebene besteht darin, dass die infinitesimalen magnetischen Translationsoperatoren sind keine Observablen, da ihre Wirkung auf die Wellenfunktionen außerhalb des untersten Landau-Niveaus liegt. Allerdings endliche Übersetzungen sind wohldefiniert, wenn ist ein -te Einheitswurzel.
Diese spezielle Einstellung lässt sich im Labor jedoch überhaupt nicht ohne weiteres umsetzen, da sie eine magnetische Nettoladung im Torus erfordern würde und bisher keine freien magnetischen Ladungen erzeugt wurden.
Dieses Modell kann jedoch in den Impulsraum übersetzt werden. Hier ist der Torus eine Brillouin-Zone von a rechteckiges Gitter. Die eingeschränkte Dynamik in einem Band kann durch eine effektive Theorie beschrieben werden, in der ein Berry-Verbindungsterm zum Hamilton-Operator hinzugefügt wird. Somit wird dieses Problem analog zur Bewegung auf dem Torus, aber im Impulsraum. Hier haben Berrys Verbindungen im Gegensatz zum realen Raum nichttriviale (fiktive) magnetische Ladungen. Physikalische Observablen im realen Raum haben analoge Observablen im Impulsraum. Der Hall-Leitwert ist proportional zur magnetischen Ladung der Berry-Krümmung, somit ist die Dirac-Quantisierungsbedingung für die Quantisierung des Hall-Leitwerts verantwortlich.