Was ist das Energiefunktional für den Moore-Read-Zustand ν=5/2ν=5/2\nu=5/2?

Sie kennen einen expliziten Ausdruck für die unnormierte Moore-Read-Wellenfunktion in (komplexer) Ortsdarstellung

$$\begin{equation} \psi_{\mathbf{MR}}(\{z_i\})= \mathbf{Pf}\left( \frac1{z_i-z_j} \right) \prod_{i<j} (z_i-z_j)^2 e^{-\sum_k |z_k|^2/4}\quad . \end{equation}$$ Die Energie einer Wellenfunktion ist durch den entsprechenden Mittelwert des Hamiltonoperators gegeben. $$\begin{equation} E_\psi=\langle H \rangle = \mathcal{N} \int dz_1\dots dz_n \left|\psi_{\mathbf{MR}}(\{z_i\})\right|^2 H(\{z_i\}) \end{equation}$$ mit der Normierungskonstante $$\begin{equation} \mathcal{N}= \left( \int dz_1\dots dz_n \left|\psi_{\mathbf{MR}}(\{z_i\})\right|^2 \right)^{-1} \quad . \end{equation}$$ In Ihrem Fall besteht der Hamiltonian wohl nur aus einem Coulomb-Term, also sind seine Matrixelemente im Positionsraum $$\begin{equation} H(\{z_i\})=\frac{e^2}{4\pi\epsilon} \sum_{i<j} \frac{1}{|z_i-z_j|} \end{equation}$$ seit $||r_i-r_j||=|z_i-z_j|$.

Die beiden beteiligten Integrale sind rechenintensiv, aber Sie können von der Metropolis-Stichprobenmethode ( http://en.wikipedia.org/wiki/Metropolis%E2%80%93Hastings_algorithm ), der am häufigsten verwendeten Stichprobenmethode in Monte-Carlo-Algorithmen, profitieren Ich schätze. Es ist sehr einfach. Bei letzterem:

• Wählen Sie zufällig eine Anfangskonfiguration aus$\{z_i\}$( dh Positionssatz). Seine Wahrscheinlichkeit ist$\pi_0=|\psi\{z_i\}|^2$.

• erzeuge eine neue Konfiguration aus der ersten, indem du zufällig eines der Partikel bewegst. Ich notiere die neue Konfigurationswahrscheinlichkeit$\pi_1$.

• die neue Konfiguration wird mit Wahrscheinlichkeit 1 akzeptiert, wenn sie eine höhere Wahrscheinlichkeit als die erste hat, und mit Wahrscheinlichkeit$\pi_1$ansonsten.

• fortfahren, bis die gewünschte Genauigkeit erreicht ist oder die maximale Anzahl an Versuchen ausprobiert wurde.

Jeder akzeptierte Zug trägt mit Gewicht 1/"Anzahl verwendeter Beispielkonfigurationen" zum Integral bei. Explizit wenn$I$ist die Menge, die ich berechnen möchte,$N$die Anzahl der Konfigurationen$i$Ich behalte, und$f_i$der Wert des Integranden für die Konfiguration$i$,

$$\begin{equation} I=\frac1N\sum_{i=1}^N f_i \quad . \end{equation}$$

Viel Glück.