Gleichwertigkeit von One Flux Quantum und Zero Flux

In Ady Sterns Rezension des Quanten-Hall-Effekts sagt er von einem Quanten-Hall-System „Das Spektrum bei Φ = Φ 0 ist das gleiche wie das Spektrum bei Φ = 0 ..." Kann jemand erklären, warum das so ist? Es scheint, als würde das angelegte Magnetfeld sicherlich den Hamiltonian und damit das Spektrum verändern, aber anscheinend nicht, wenn der Fluss ein einzelnes Quant ist.

Ich entschuldige mich auch für alle Anfängerfehler oder wenn dies an anderer Stelle beantwortet wird, bin ich ziemlich neu bei Stackexchange. Danke.

Welche Rezension? Dieser ?
Ja das ist es

Antworten (2)

Die Staaten bei Φ Und Φ + Φ 0 sind durch eine Eichtransformation[1] verknüpft und daher muss das Spektrum gleich sein. Lassen Sie uns der Konkretheit halber über Elektronen sprechen, die an einem Radiusring befestigt sind R . Parametrieren Sie die Wellenfunktion ψ durch die Bogenlänge l . Das erfordert die Periodizität

ψ ( l + 2 π R ) = ψ ( l ) .
Es gibt einige Hamiltonsche H am Ring - H muss eichinvariant sein, ist also nur eine Funktion der Position l und die eichinvariante Ableitung D = ich ∂ l + A , Wo A ist das Messgerät.

Nehmen wir nun die Spurtransformation A → A + N / R , ψ → e ich N l / R ψ . Dies respektiert die periodische Grenze iff N eine ganze Zahl ist, also werden Eigenzustände des Hamilton-Operators zu Eigenzuständen des Hamilton-Operators. Verwenden Sie nun die Beziehung

∫ A ⋅ D l = ∫ S ∇ × A ⋅ D A = ∫ S B ⋅ D A ≡ Φ ,
Wir sehen, dass unsere Eichtransformation der Änderung des Flussquants um entspricht Φ 0 .

Beachten Sie, dass wir auch eine Gauge-Transformation des Formulars ausprobieren könnten A → A + N + θ / 2 π R . Wir können dies tun, solange wir unsere Bindungsbedingung auf ändern

ψ ( l + 2 π R ) = e ich θ ψ ( l ) .
Insbesondere können wir das Eichfeld auf Null transformieren und bei Nein bleiben A aber mit einer nichttrivialen Randbedingung oben. Wenn Sie also möchten, können Sie das Magnetfeld und das Eichfeld vergessen und stattdessen an ein ungeladenes Problem denken, aber mit der "verdrehten" Randbedingung. Das sollte Sinn machen - da ist kein Magnetismus drin D = 1 so sollte ich in der Lage sein, loszuwerden A . Die Randbedingung ist das Einzige, was übrig bleibt.

[1] Ich nenne es eine Eichtransformation, aber im physikalischen Fall eines mit Flussmittel durchzogenen Rings kann diese Eichtransformation nicht auf den gesamten Raum ausgedehnt werden. Dies folgt aus der Tatsache, dass es die Flussmittelmenge ändert, die den Ring einfädelt, aber das ist lehreninvariant. Das elektronische Spektrum weiß jedoch nicht, dass diese Transformation nicht auf den gesamten Raum ausgedehnt werden kann, und so funktioniert es immer noch.

Dies liegt an der adiabatischen Hypothese: Wenn der Vorgang des Einfügens eines Flussquants in das System adiabat ist und sich das System in einem Eigenzustand des Hamilton-Operators befindet ψ N mit Eigenenergie E N dann bleibt es in diesem Eigenzustand (bis zu einem globalen Phasenfaktor) während und am Ende des Prozesses blockiert.

Die Aussage bezieht sich auf das Spektrum, nicht auf den Zustand
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