Landau-Niveau für quadratische Bandberührung in Dirac Hamiltonian

Ich finde die Antwort in Artikeln, die zweischichtiges Graphem untersuchen, z

http://iopscience.iop.org/article/10.1088/0034-4885/76/5/056503/meta;jsessionid=6653715AE8C3DDEC60ADA7854E2EA192.c1

und ich beschloss, die Antwort auf meine eigene Frage zu schreiben. Zuerst machen wir eine minimale Kopplung an das Magnetfeld:

$$\begin{equation} H[A]=\frac{(k_x+e A_x/c)^2-(k_y+e A_y/c)^2}{m}\sigma_x+\frac{(k_x+e A_x/c)(k_y+e A_y/c)+(k_y+e A_y/c)(k_x+e A_x/c)}{m}\sigma_y \end{equation}$$

Beachte das$k_x k_y$symmetrisiert werden, wenn sie durch kanonisches Momentum ersetzt werden, um die Hermizität des Hamilton-Operators beizubehalten. In Landau-Spur,

$$\begin{equation} A_x=-B y, A_y=0 \end{equation}$$

Dann

$$\begin{equation} [\frac{(-i \partial_x-\frac{e B}{c} y)^2-(-i \partial_y)^2}{m}\sigma_x+\frac{(-i \partial_x-\frac{e B}{c})(-i \partial_y)+(-i \partial_y)(-i \partial_x-\frac{e B}{c})}{m}\sigma_y]\psi(\mathbf{r})=E_n \psi(\mathbf{r}) \end{equation}$$

Aufgrund der Translationsinvarianz in x-Richtung ist

$$\begin{equation} \psi(\mathbf{r})=\frac{1}{\sqrt{L}}exp[i k x]\hat{f}_n(y) \end{equation}$$

ein Fund

$$\begin{equation} [\frac{(k-\frac{e B}{c} y)^2-(-i \partial_y)^2}{m}\sigma_x+\frac{(k-\frac{e B}{c})(-i \partial_y)+(-i \partial_y)(k-\frac{e B}{c})}{m}\sigma_y]\hat{f}(y)=E_n \hat{f}(y) \end{equation}$$

Definition des Erstellungs- und Vernichtungsoperators als

$$\begin{equation} a^-=l_B \partial_y+(l_B k-\frac{e B}{c} y/l_B), a^+=l_B \partial_y-(l_B k-\frac{e B}{c} y/l_B), \end{equation}$$

Wo$l_B=\sqrt{\frac{c}{e B}}$ist die magnetische Länge. Wir haben

$$\begin{equation} \omega_c \begin{bmatrix} 0 & {a^+}^2 \\ {a^-}^2 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} f_n^+(y) \\ f_n^-(y) \end{bmatrix}=E_n \begin{bmatrix} f_n^+(y) \\ f_n^-(y) \end{bmatrix} \end{equation}$$ Das Spektrum und die Eigenzustände können analog zum Problem des harmonischen Oszillators gelöst werden:

$$\begin{equation} E_n^{\pm}=\sqrt{n(n-1)}\omega_c,n=2,3,\ldots, \hat{f}_{n,\pm}=\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} \phi_n(y) \\ \pm\phi_{n-2}(y) \end{bmatrix} \end{equation}$$

Wo$\phi_n(y)$'s sind Eigenzustände von harmonischen Oszillatoren.