Dimension von Hamiltonian & Diagonalisierbarkeit

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Dimension von Hamiltonian & Diagonalisierbarkeit

Physik
ising-Modell
Simulationen
kondensierte Materie
Quantenmechanik
Computerphysik

selbst.grassmanian

In der Literatur zur Physik der kondensierten Materie begegnet man oft einem Hamilton-Operator, der ungefähr so lautet:

H = \sum_{ich = 1}^{N} J_{ich} S_{ich}^{z} S_{ich + 1}^{z},

$H = \sum_{i=1}^{n} J_{i}\ S_{i}^{z} S_{i+1}^{z},$ Wo

J_{i}

$J_{i}$ sind die Kopplungskonstanten,

S_{i}^{z}

$S_{i}^{z}$ den Spin-Operator darstellt

S^{z}

$S^{z}$ handeln bei

i^{th}

$i^{\text{th}}$ Website und

n

$n$ wobei es sich um die Gesamtzahl der Standorte handelt (mit vielleicht einer ringförmigen Identifizierung). Jetzt,

S^{z}

$S^{z}$ ist ein

2 \times 2

$2 \times 2$ Matrix, wobei der Spin an einer bestimmten Stelle a ist

2 \times 1

$2 \times 1$ Matrix- oder Spaltenvektor.

Wenn man die Wellenfunktion wüsste wie $|\psi \rangle = \dots \otimes | i \rangle \otimes | i+1 \rangle \otimes \cdots$ , dann wäre es einfach, den Hamiltonoperator einfach anzuwenden und zu tun, was man will. Aber angenommen, ich habe das nicht $| \psi \rangle$ und müssen direkt diagonalisieren $H$ Um seine Eigenwerte und Eigenvektoren zu berechnen (z. B. während der Simulation eines solchen Modells auf einem Gitter auf dem Computer), wie würde ich das tun?

Wie würde man das sicherstellen $S^{z}_{i}$ unterscheidet sich von $S^{z}_{i+1}$ ? Die einzige Möglichkeit, dies zu tun, besteht darin, sie mit einem vermuteten (zufälligen) Spin zu betreiben, der an ihren Standorten vorhanden ist. Aber wenn man das tut, dann ist der Hamilton-Operator eine Summe des Produkts von zwei $2 \times 1$ Matrizen ( $[2 \times 2]\ *\ [2 \times 1] \to [2 \times 1]$ Matrix), was keinen Sinn macht!

Könnte jemand erläutern, wo ich falsch liege? Grundsätzlich möchte ich einen Hamiltonian der obigen Form auf einem Computer (z. B. mit Mathematica - das über eingebaute Funktionen zur Angabe der Eigenwerte und Eigenvektoren verfügt) diagonalisieren, ohne die Eigenfunktionen zu kennen.

Bearbeiten: Nach weiterem Nachdenken, indem Sie sagen, dass der Spin an einer bestimmten Stelle a ist $2 \times 1$ Matrix, gehe ich implizit davon aus, dass es sich um einen Nicht-Tensor-Zustand handelt? Selbst wenn das stimmt, wie hilft es, die richtige Dimension des Hamilton-Operators anzugeben, um ihn zu diagonalisieren?

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fqq · Answer 1

Dimension des Hilbertraums

Der Hilbertraum einer Spinkette der Länge $n$ ist durch das Tensorprodukt von gegeben $n$ Kopien des Hilbert-Raums eines einzelnen Spins. Angenommen, wir reden über Spin- $\frac{1}{2}$ , die Dimension des Raums ist $2^n$ .

In diesem Zusammenhang bedeutet ein "Operator, der auf einen einzigen Spin wirkt" a $2^n$ -dimensionaler Operator, der als Tensorprodukt eines 2d-Operators mit erhalten wird $n-1$ Kopien der 2d-Identität, so dass die Aktion bei den anderen Drehungen trivial ist.

Zum Beispiel angesichts der ( $2\times2$ ) Pauli-Matrix $\sigma^z$ ,

S_{ich}^{z} = \underset{ich - 1}{\underset{⏟}{{ICH}_{2} \otimes \dots \otimes {ICH}_{2}}} \otimes σ^{z} \otimes \underset{N - ich}{\underset{⏟}{{ICH}_{2} \otimes \dots \otimes {ICH}_{2}}} .

$S_i^z = \underbrace{\mathbb{I}_2 \otimes \cdots\otimes \mathbb{I}_2}_{i-1}\otimes \sigma^z\otimes\underbrace{\mathbb{I}_2\otimes \cdots\otimes \mathbb{I}_2}_{n-i} .$

Ebenso ein "Zwei-Körper"-Operator $S_i^z S_{i+1}^z$ kann explizit geschrieben werden

S_{ich}^{z} S_{ich + 1}^{z} = \underset{ich - 1}{\underset{⏟}{{ICH}_{2} \otimes \dots \otimes {ICH}_{2}}} \otimes σ^{z} \otimes σ^{z} \otimes \underset{N - ich - 1}{\underset{⏟}{{ICH}_{2} \otimes \dots \otimes {ICH}_{2}}},

$S_i^z S_{i+1}^z = \underbrace{\mathbb{I}_2 \otimes \cdots\otimes \mathbb{I}_2}_{i-1}\otimes \sigma^z\otimes \sigma^z\otimes\underbrace{\mathbb{I}_2\otimes \cdots\otimes \mathbb{I}_2}_{n-i-1},$ usw.

Numerische Diagonalisierung

Die numerische Diagonalisierung eines solchen Hamiltonoperators ist ein schwieriges Problem. Im Prinzip können Sie mit den obigen Ausdrücken die Matrix explizit in Ihrer bevorzugten Programmiersprache konstruieren (z. B. in Mathematica mit KroneckerProductund PauliMatrix). Wie oben erwähnt, wächst die Dimension jedoch exponentiell mit der Anzahl der Drehungen, was bedeutet, dass Sie sie nicht einmal erreichen können $n\approx 20$ .

Deshalb muss man klügere Wege finden, Dinge zu tun; zum Beispiel wäre ein Ausgangspunkt darzustellen $H$ als dünne Matrix. Dies ist ein aktives Forschungsgebiet, und selbst mit hochmodernen Algorithmen und großen Computern können Menschen das Problem mit höchstens ein paar zehn Umdrehungen lösen.

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selbst.grassmanian

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fqq

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