Transmissionskoeffizient eines Gaußschen Wellenpakets durch eine Potentialbarriere

Question

Transmissionskoeffizient eines Gaußschen Wellenpakets durch eine Potentialbarriere

Physik
Simulationen
Wellenfunktion
Quantenmechanik
Quantentunneln
Computerphysik

Adri Escañuela

Ich habe die Streuung eines Gaußschen Wellenpakets mit einer Potentialbarriere (Crank-Nicolson) simuliert und durch viele Simulationen die Abhängigkeit des Transmissionskoeffizienten von der Höhe der Potentialbarriere bestimmt. Ein Vergleich mit der theoretischen Funktion scheitert jedoch.

Ich nehme an, das liegt hauptsächlich daran, dass die Ableitung des Koeffizienten für Wellenfunktionen der Form erfolgt $\sim e^{ikx}$ . Der theoretische Koeffizient, den ich verwendet habe, ist [Sakurai, Modern Quantum Mechanics, Anhang B3]:

{\begin{cases} T = {1 + [v_{0}^{2} / 4 E (v_{0} - E)] {Sünde}^{2} (2 A \sqrt{2 M (v_{0} - E) / ℏ^{2}})}^{- 1} ich F E < v_{0} \\ T = {1 + [v_{0}^{2} / 4 E (E - v_{0})] {Sünde}^{2} (2 A \sqrt{2 M (E - v_{0}) / ℏ^{2}})}^{- 1} ich F E > v_{0} \end{cases}

$\begin{cases} T=\{ 1+[V_0^2/4E(V_0-E)]\sinh ^2(2a\sqrt{2m(V_0-E)/\hbar^2}) \} ^{-1}\quad \mathrm{if} \quad E<V_0\\ T=\{ 1+[V_0^2/4E(E-V_0)]\sin ^2 (2a\sqrt{2m(E-V_0)/\hbar^2}) \} ^{-1}\quad \mathrm{if} \quad E>V_0\\ \end{cases}$

Und ich verstehe, was Sie auf dem Bild sehen können, was ziemlich daneben ist.

Es wurden einige Einheiten geändert, damit alles numerisch leichter zu behandeln ist, $m=1/2, \ \hbar=1, \ V_0=\lambda k^2, \ E=\hbar k^2/2m=k^2$ Und $\lambda$ wäre die x-achse. Meine Parameter sind: $a=200$ Und $k=0.4398$ .

Ich denke, dass das Hauptproblem damit zu tun hat, dass der Ausdruck nur für eine Welle nützlich ist, die im Momenta-Raum vollständig bestimmt ist, wie ich sagte, $\sim e^{ikx}$ , aber ich habe nach einem Ausdruck für Gaußsche gesucht und bin gescheitert.

Puk

Bitte beschriften Sie Ihre Achsen. Wie definieren / berechnen Sie den Übertragungskoeffizienten für ein Gaußsches Wellenpaket?

Adri Escañuela

Die y-Achse ist T und wie gesagt, die x-Achse ist Lambda (bezogen auf die Höhe der Potentialbarriere V_0). Die Definition für T ist bereits im Text enthalten, es werden lediglich die Parameter nach der Zahl ersetzt, um einen einfacheren Ausdruck zu erhalten.

Antworten (1)

Transmissionskoeffizient eines Gaußschen Wellenpakets durch eine Potentialbarriere

Bitte beschriften Sie Ihre Achsen. Wie definieren / berechnen Sie den Übertragungskoeffizienten für ein Gaußsches Wellenpaket?
Die y-Achse ist T und wie gesagt, die x-Achse ist Lambda (bezogen auf die Höhe der Potentialbarriere V_0). Die Definition für T ist bereits im Text enthalten, es werden lediglich die Parameter nach der Zahl ersetzt, um einen einfacheren Ausdruck zu erhalten.

Puk · Answer 1

Wenn Ihre einfallende Wellenfunktion ist

ψ_{ich} = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{\infty} A (k) e^{ich (k X - ω_{k} T)} D k,

$\psi_i=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^\infty{A(k)e^{i(kx-\omega_kt)}dk},$ die übertragene Wellenfunktion ist

ψ_{T} = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{\infty} a (k) A (k) e^{ich (k X - ω_{k} T)} D k

$\psi_t=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^\infty{\alpha(k)A(k)e^{i(kx-\omega_kt)}dk}$ wobei der Transmissionskoeffizient für eine einfallende Welle

e^{i k x}

$e^{ikx}$ Ist

T (k) = | α (k) |^{2}

$T(k)=|\alpha(k)|^2$ . Der Übertragungskoeffizient für das Wellenpaket wäre

T^{'} = \frac{\int_{- \infty}^{\infty} | ψ_{T} |^{2} D X}{\int_{- \infty}^{\infty} | ψ_{ich} |^{2} D X} = \frac{\int_{- \infty}^{\infty} T (k) | A (k) |^{2} D k}{\int_{- \infty}^{\infty} | A (k) |^{2} D k},

$T'=\frac{\int\limits_{-\infty}^\infty|\psi_t|^2dx}{\int\limits_{-\infty}^\infty|\psi_i|^2dx}=\frac{\int\limits_{-\infty}^\infty T(k)|A(k)|^2dk}{\int\limits_{-\infty}^\infty|A(k)|^2dk},$ wobei Parsevals Beziehung verwendet wurde. Mit anderen Worten, die Übertragungswahrscheinlichkeit ist der Durchschnitt von

T (k)

$T(k)$ gewichtet nach

| A (k) |^{2}

$|A(k)|^2$ . Der Nenner wäre gerecht

1

$1$ wenn Ihre anfängliche Wellenfunktion normalisiert ist.

Versuchen Sie, Ihre Wellenfunktion im Impulsraum auszudrücken (dh rechnen $A(k)$ ) und Computer $T'$ wie oben, um Ihre Ergebnisse zu überprüfen.

Großartig, ist $T(k)$ genau derselbe Ausdruck, den ich zuvor verwendet habe (aber E in k umwandelt) oder ist es ein anderer, den ich nicht kenne?

Transmissionskoeffizient eines Gaußschen Wellenpakets durch eine Potentialbarriere

Adri Escañuela

Puk

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Puk

Adri Escañuela

Puk

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