Numerische Simulation des Doppelspaltexperiments inklusive Beobachtung der Elektronen

Ich werde meine Anmerkungen aus dem ( inzwischen migrierten ) Kommentar-Thread ziehen, da dieser noch nicht richtig behandelt werden muss. Um deine Hauptfrage zu beantworten,

Wurde dieses "Gedankenexperiment" durch numerisches Lösen der zugrunde liegenden Schrödinger-Gleichung simuliert?

Ich würde sagen:

• Die genaue Simulation, die Sie vorschlagen (oder enge Variationen davon), wurde wahrscheinlich irgendwann durchgeführt (wahrscheinlich an mehreren Punkten, von mehreren Personen);
• es wurde wahrscheinlich nicht veröffentlicht;
• wenn es veröffentlicht wurde, wird es kein besonders interessantes Papier abgeben; und
• Wenn es nicht veröffentlicht wurde, ist es ein Berg von Aufgaben, glaubhaft zu machen, dass es ein solches Papier in der Literatur nicht gibt.

Nun, der Grund für das Obige ist, dass die von Ihnen vorgeschlagene Simulation einfach nicht sehr interessant ist . Du sagst das

Sein Interesse könnte insbesondere darin bestehen, besser zu verstehen, auf welche Weise die Beobachtung mit zunehmender Photonenwellenlänge zunehmend unwirksam wird.

aber das ist nicht der Fall: alles, was uns eine solche Simulation zeigen könnte, verstehen wir bereits .

Es ist seit den Tagen von Neumann wohlbekannt, dass innerhalb der formalen, einheitlichen Quantenmechanik der Effekt von Messungen Verschränkung hervorrufen soll: wenn sich das System in einer Überlagerung von befindet$|A=1\rangle$und$|A=2\rangle$, sagen, und Sie messen$\hat A$, mit einem Detektor, der zu geht$\left|\uparrow\right>$an$A=1$und zu$\left|\downarrow\right>$an$A=2$, was Sie wirklich erzeugen, ist die Überlagerung

$$|\Psi\rangle = \alpha \left|A=1\right>\left|\uparrow\right> + \beta \left|A=2\right>\left|\downarrow\right>,$$ dh ein verschränkter Zustand zwischen dem System und dem Detektor. Dieser Zustand kann keine Interferenz mehr zeigen, denn wenn man das innere Produkt zwischen den beiden Komponenten nimmt, dh wenn man es tut $$\bigg< \left|A=1\right>\left|\uparrow\right> ,\, \left|A=2\right>\left|\downarrow\right> \bigg> = \left<A=1|A=2\right> \left<\uparrow\middle|\downarrow\right> = 0$$ Sie erhalten Null, weil die Detektorzustände orthogonal sind. Dadurch wird jede Möglichkeit einer Interferenz vollständig beseitigt, aber die Wellenfunktion ist (noch) nicht "kollabiert"; Wenn Sie eine projektive Messung am Detektor durchführen (wodurch seine Wellenfunktion zum "Zusammenbrechen" gezwungen wird), erstreckt sich dies auch auf das System, ist jedoch außerhalb der Simulation.

Lassen Sie mich den Punkt wiederholen: Alles, was Sie simulieren könnten, während Sie sich an die einheitliche Quantenmechanik halten, würde vollständig in das obige Schema passen und es würde nicht zu unserem Verständnis des Gedankenexperiments beitragen.

Wenn Sie möchten, dass Ihre Simulation eine Form des "Zusammenbruchs" der Wellenfunktion (oder Dekohärenz oder wie auch immer Sie es nennen möchten) enthält, dh wenn Sie möchten, dass Ihre Simulation tatsächlich etwas Nützliches über das Messproblem aussagt, müssen Sie dies tun um zu entscheiden, wie Sie mit den Informationen umgehen, die in Ihrem Richtungsdetektor kodiert sind, und hier geht Ihr Schema schief: Um überhaupt irgendetwas zu simulieren, müssen Sie im Wesentlichen eine Lösung des Messproblems in Ihre Simulation einbacken. Welche Ergebnisse Sie auch immer erhalten, es wird nur eine Wiederholung der Prämissen sein, die Sie eingeben, und es wird allen Fehlern der Prämissen unterliegen.

Vor diesem Hintergrund wäre eine solche Simulation nur eine sehr teure Visualisierungshilfe für bereits analytisch nachvollziehbare Prozesse, bei denen die Hauptschwierigkeit konzeptionell ist. Die Schaffung von Visualisierungshilfen ist nicht ohne Verdienst, aber diese würde sehr wenig zur Lösung der wahren konzeptionellen Probleme des Messproblems beitragen, die viel mehr damit zu tun haben, was projektive Messungen bedeuten, als mit Photonen und Doppelspalten.

Der Interferenzverlust ist nicht auf den Kollaps zurückzuführen, denn der Kollaps ist ein Mythos.

Der Interferenzverlust kann durch quantenmechanische Modelle simuliert werden, die die Wechselwirkung beinhalten, die Informationen über das gemessene System überträgt, die Dekohärenz verursachen. Diese Veröffentlichungen befassen sich nicht speziell mit der Dekohärenz bei Elektronen, sondern mit der Dekohärenz in allgemeinen Doppelspaltexperimenten

https://arxiv.org/abs/1606.09442

https://arxiv.org/abs/quant-ph/0310095

Es gibt Artikel über die Elektronendehohärenz speziell in elektronischen Mach-Zehnder-Interferometern. Dies sind einige Beispiele einer sehr umfangreichen Literatur zum Thema:

https://arxiv.org/abs/0801.2338

https://arxiv.org/abs/1105.2587

Der von Feynman beschriebene Effekt wird nicht mit der Schrödinger-Gleichung berechnet. Stattdessen ist es ein Ergebnis des "Zusammenbruchs der Wellenfunktion", der ein Ergebnis der Messung der Position des Elektrons ist. Der Kollaps ist ein separates Postulat, das nicht aus der Schrödinger-Gleichung abgeleitet werden kann. Das ist sowieso die Standardinterpretation von Kopenhagen.

Everett hat in seinem Artikel „Relative State“ gezeigt, dass sie tatsächlich aus der Schrödinger-Gleichung abgeleitet werden kann , obwohl Sie den Beobachter in Ihre Wellengleichung einbeziehen müssen. Dies führt zur Viele-Welten-Interpretation der Quantenmechanik.

Wovon Feynman hier spricht, ist der Kollaps der Wellenfunktion, der aufgrund der Messung auftritt.

Angenommen, Sie feuern einen Elektronenstrom auf eine Platte mit zwei Schlitzen, beobachten aber nicht, durch welchen Schlitz jedes Elektron hindurchgeht. In dieser Situation soll jedes Elektron sowohl den oberen als auch den unteren Schlitz passieren, was zu dem Interferenzmuster auf dem Schirm führt.

Nehmen wir nun an, Sie beobachten den Weg jedes Elektrons, ohne seinen Zustand tatsächlich zu stören (was eigentlich unmöglich ist, aber ertragen Sie mich hier). In diesem Fall kann man genau sagen, welches Elektron durch welchen der Spalte gegangen ist und kann zwei Elektronenhaufen auf dem Bildschirm beobachten.

Also, ich bin ungefähr 6 Jahre zu spät dran, aber hier ist ein Computerexperimentaufbau. Ich würde das gerne eines Tages codieren, wenn ich genug Zeit habe, es ist durchaus machbar.

Theorie

Sie haben zwei Hilbert-Räume, einen dessen Elemente die üblichen Wellenfunktionen sind$\psi(x,y)\in\mathcal{H}_x$, und einer, der Ihr Detektor ist, der sagt, ob ein Teilchen durch einen linken oder einen rechten Spalt gegangen ist. Angenommen, Ihr Detektor startet im Zustand$(|L\rangle+|R\rangle)/\sqrt{2}$: eine 50%ige Überlagerung der linken und rechten Schlitze. Ich bezeichne diesen Hilbertraum$\mathcal{H}_d=\operatorname{span}(|L\rangle,|R\rangle)$

Der Tensorproduktraum von Teilchen und Detektor wird durch eine Funktion beschrieben$\psi(x,y,d)$wo$d$ist einer von$L$oder$R$. Wenn wir also zum Beispiel unser anfängliches Wellenpaket unseres Elektrons als hätten$\psi_0(x,y)$und dem obigen 50/50-Detektorzustand wäre unsere anfängliche volle Wellenfunktion$\psi(x,y,L)=\frac{1}{\sqrt{2}}\psi_0(x,y)$und$\psi(x,y,R)=\frac{1}{\sqrt{2}}\psi_0(x,y)$.

Für den Hamilton-Operator wirkt die Potentialbarriere als Potential an$\mathcal{H}_x$und als Identität auf$\mathcal{H}_d$. Wir haben also eine$V(x,y)$die unendlich ist, bis auf zwei ausgeschnittene Blöcke: die Schlitze. Ich schreibe die Identität auf$\mathcal{H}_d$wie$\mathbf{1}_d$.

Um die Erkennung von Partikeln zu modellieren, können Sie eine Testfunktion haben$h(x,y)$welches ist$1$im linken Schlitz,$-1$in den rechten Schlitz, und$0$anderswo. Wenn ein Partikel erkannt wird, möchten wir die Amplitude für die Erkennung in den richtigen Zustand bringen$|L\rangle$oder$|R\rangle$, also sollten wir einen Begriff wie den Pauli hinzufügen$\sigma_y$Matrix*. Der vollständige Hamilton-Operator sieht folgendermaßen aus:

$$H=(p_x^2+p_y^2+V(x,y))\otimes \mathbf{1}_d + I h(x,y)\otimes \sigma_y$$

Wo$I$ist die Interaktionsstärke.

Simulation

Für die numerische Simulation wird daraus die folgende PDE ($m=\hbar=1$WLOG):

$$\begin{align*} i \partial_t \psi(x,y,L,t)&=(-\frac{1}{2}\partial_x^2-\frac{1}{2}\partial_y^2+V(x,y))\psi(x,y,L,t) -i I h(x,y)\psi(x,y,R,t)\\ i \partial_t \psi(x,y,R,t)&=(-\frac{1}{2}\partial_x^2-\frac{1}{2}\partial_y^2+V(x,y))\psi(x,y,R,t) +i I h(x,y)\psi(x,y,L,t) \end{align*}$$

Sie simulieren im Grunde zwei separate Wellenfunktionen, eine für$L$und eine für$R$, aber der Begriff$I$kann die beiden Wellenfunktionen mischen und wird dies auf eine Weise tun, die Interferenzen stört. Wenn$\psi(x,y,L)$ist in blau und dargestellt$\psi(x,y,R)$rot aufgetragen ist, dann z$I=0$wir sehen ein violettes Muster, das eine Interferenz anzeigt. Zum$I$auf einen guten Wert eingestellt, sehen wir das Interferenzmuster verschwinden und eine blau-lila-rote Beule ohne sichtbares Interferenzmuster.

Kommentar zu Interaktionen

Der übliche Einwand (der auch in Feynman erwähnt wird) lautet: „Nun, wir schalten eine Interaktion ein$I$, es ist keine Überraschung, dass dies die Wellenfunktion durcheinander bringt.“ Der Punkt ist, dass es überhaupt keine Möglichkeit gibt, Positionsinformationen aus dem Hilbert-Raum des Teilchens zu bekommen$\mathcal{H}_x$und in den Hilbertraum des Detektors$\mathcal{H}_d$ohne das Interferenzmuster zu zerstören. Keine, nada, zilch.

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*Ich wähle$\sigma_y$weil ich weiß, dass dies dazu führen wird, dass sich Zustände wie entwickeln$e^{-i H t}$, und$-i \sigma_y t$ist$t\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$, die eine Rotationsmatrix ist und für mich einfacher zu visualisieren ist.

Bei der Erstellung eines "Gedankenexperiments" besteht ein Hauptproblem darin, Bedingungen aufzustellen, die einen realistischen Aufbau beschreiben. Das sogenannte "Kondensatorparadoxon" Paradoxon mit zwei Kondensatoren entsteht nur, weil die Verbindung so eingestellt ist, dass sie keine Induktivität hat.

Wie also ist der Aufbau des Doppelspaltexperiments mit Elektronen: Die kinetische Energie des einfallenden Elektrons beträgt etwa 50 keV. Die Schlitzbreite beträgt etwa 0,5 µm, der Abstand 2 µm. Die Originalarbeit: https://www.leifiphysik.de/quantenphysik/quantenobjekt-elektron/geschichte/originalarbeit-von-joensson zeigt Zusammenhänge und Schwierigkeiten auf.

Da es extrem schwierig ist, das Muster zu bekommen, ist es extrem einfach, es zu zerstören. Aber das erklärt nicht, warum das Muster existiert.

Wie Jönsson schrieb: Es muss einen Schlitz geben (in der Optik funktioniert ein Gitter auf einem Transparent), da kein materielles Objekt nicht mit Elektronen bedeckt ist, und tatsächlich: Die einfallenden Elektronen sehen nur ein Meer von Elektronen und zwei Bereiche ohne Elektronen. In der klassischen Welt passiert jedes Elektron nur einen einzigen Schlitz (wenn es nicht reflektiert wird) und wir werden keine Interferenz sehen.

In der Quantenwelt ist die Wechselwirkung zwischen zwei Elektronen quantisiert. Und jetzt können wir zwei Fälle sehen:

Das ankommende Elektron interagiert mit einem einzelnen Elektron im Meer und passiert den Schlitz. Es wird an einer bestimmten Stelle erscheinen. Die Position des Meerelektrons wird von allen umgebenden Elektronen beeinflusst, sodass sich die Geometrie der Schlitze in den durchschnittlichen Zielpunkten auf dem Detektorschirm widerspiegelt. Was wir also sehen, ist die Interferenz zwischen zwei Elektronen, die den Regeln der Quantenmechanik folgt. Dann zeigen viele der Elektronen im Durchschnitt das Interferenzmuster.

Der zweite Fall ist: Wir sehen das Elektronenmeer als eine verdichtete Einheit, die eine einzige, komplexe Wellenfunktion ergibt, und die Interferenz des einfallenden Elektrons mit dieser Wellenfunktion erzeugt das Muster.

Allerdings: Es gibt einen grundlegenden Unterschied zwischen einer makroskopischen Interferenz (bei der eine Welle nur eine analoge Welle ist) und einer mikroskopischen Interferenz (bei der eine Welle aus Elementarwellenteilchen aufgebaut ist). Und wir sollten nicht vergessen, dass das Doppelspaltexperiment nur überraschend ist, wenn es nicht mit quantisierter Wechselwirkung zwischen Teilchen zusammenhängt. Erst die integrierende Eigenschaft des Bildschirms macht aus Ereignissen ein Muster. Es ist überhaupt keine gute Idee, Statistiken von einzelnen Ereignissen zu erstellen.

Als ich dachte, dass Faltungswellenfunktionen die Fourier-Transformation beinhalten, habe ich "Doppelschlitz-Fourier-Transformation" gegoogelt und diesen Treffer erhalten: https://www.thefouriertransform.com/applications/diffraction3.php

Dadurch wird der Doppelschlitz voll durchsichtig ;-) . Alle Elektronen, die eine scheinbar räumliche Verteilung eines Doppelspaltes erzeugen, bilden eine Wellenfunktion, die wiederum gefaltet mit der Deltafunktion "Elektron" genau die ft des Doppelspaltes allein ergibt. Zumindest soweit, wie ich folgen kann.

Das Doppelspalt-"Gedankenexperiment" ... besteht darin, Elektronen durch einen Doppelspalt zu schießen ... und sie nach Passieren der Spalte mit einer hinter dem Doppelspalt platzierten Lichtquelle zu beobachten ...

Verallgemeinernd sagt man, dass jede Wechselwirkung mit dem Elektron seine gerade Bewegungsbahn verändert.

Da elektrische Ladungen Licht streuen, kann man "erfassen", durch welchen Schlitz das Elektron gegangen ist ...

Was kann Elektronen noch von ihrer Bahn ablenken? Bewegte Elektronen könnten sowohl durch EM-Strahlung als auch durch elektrische und magnetische Felder beeinflusst werden. Für Magnetfelder wird dies durch die Lorentzkraft beschrieben. Die von Ihnen erwähnte "Numerical Simulation of the Double Slit Interference with Ultracold Atoms" besteht aus vielen Berechnungen Before the slits und Behind the slits . Aber was ist mit Berechnungen der Elektronenwechselwirkung mit dem Spalt oder mit den Rändern des Spalts ?

Es ist eine seltsame Sache, dass es eine Wechselwirkung zwischen den sich durch den Schlitz bewegenden Partikeln und den Schlitzkanten geben muss oder besser gesagt gibt, aber diese Wechselwirkung ist kein Gegenstand der Betrachtung.

Nur mein Senf, es muss die Wechselwirkung zwischen den sich bewegenden Teilchen und den magnetischen und elektrischen Feldern der Oberflächenelektronen der (scharfen) Kanten berechnet werden. Dann ließe sich leicht erklären, dass eine Intensitätsverteilung auch hinter einzelnen (scharfen) Kanten und sogar über die Zeit bei sich einzeln bewegenden Teilchen auftritt.

Numerische Simulation des Doppelspaltexperiments inklusive Beobachtung der Elektronen ...

... im Zusammenspiel mit dem Spalt scheint der richtige Weg zu sein, um die endlosen Diskussionen um Doppelspaltexperimente zu einem guten Ende zu bringen.