Erhalten des Transmissionskoeffizienten des Strahls bei einem linearen Potential

Ich möchte den Transmissionsgrad bestimmen$\mathcal{T}$für einen Teilchenstrahl

$$\Psi(x,t) = A_o e^{ikx}e^\frac{-iE_ot}{\hbar}$$ mit Energie $$E = \frac{\hbar^2k^2}{2m}$$ Einfall auf ein negatives lineares Potential (siehe Diagramm; ich entschuldige mich für seine Grobheit, ich habe es selbst gemacht) definiert durch:

$$V(x) = \begin{cases} \quad 0 &\text{for $x<0$}\\ -|V_o|(x/L) &\text{for $0<x<L$}\\ -|V_o| &\text{for $x>L$} \end{cases}$$

Der Transmissionskoeffizient$\mathcal{T}$wird unter Verwendung des Wahrscheinlichkeitsdichtestroms gefunden$J$als:

$$\mathcal{T} = \frac{|J_{trans}|}{|J_{inc}|}$$

Wo$|J_{trans}|$Und$|J_{inc}|$sind die übertragenen und einfallenden Wahrscheinlichkeitsströme. Wahrscheinlichkeit aktuell$J$kann bezogen werden durch:

$$J = \frac{i\hbar}{2m}\{\Psi(x,t) \frac{\partial}{\partial x}(\Psi^*(x,t))-\Psi^*(x,t)\frac{\partial}{\partial x}(\Psi(x,t))\}$$

Für den Fall eines einzelnen Step-down-Potentials (grüne Linie im Diagramm) können wir also die TISE in jeder Region lösen und Randbedingungen verwenden, um Koeffizienten und Abhängigkeiten aufzulösen$k_1$Und$k_2$, die entweder einfallende/reflektierte Strahlen bzw. durchgelassene Strahlen darstellen. Lassen Sie die Position des einzelnen Schritts bei sein$x=0$anstatt der$L/2$im Diagramm dargestellt.

$$\psi(x) = \begin{cases} A_oe^{ik_1x} + Be^{-ik_1x}&\text{for $x<0$}\\ Ce^{ik_2x}+De^{-ik_2x} &\text{for $x>0$} \end{cases}$$ Wo $$(k_2)^2 = \frac{2m}{\hbar^2}(E+|V_o|)$$

$A_o$stellt den einfallenden Strahl dar,$B$stellt den reflektierten Strahl dar, und$C$stellt den übertragenen Strahl dar, und$D=0$. Als Randbedingungen benötigen wir die Wellenfunktion$\psi$und sein Derivat$\frac{d\psi}{dx}$kontinuierlich sein bei$x=0$, was dazu führt:

$$A_o + B = C$$ Und $$ik_1(A_o-B) = ik_2C$$

Die obigen Bedingungen erlauben uns, Koeffizienten zu bestimmen$B$Und$C$in Bezug auf unsere bekannt$A_o$:

$$B = \frac{A_o(k_1-k_2)}{k_1+k_2}$$ $$C = \frac{A_o2k_1}{k_1+k_2}$$

Beachten Sie, dass der zeitliche Teil von$\Psi(x,t)$geht in der Gleichung für auf Null$J$, wir gebrauchen$\psi(x) = A_o e^{ikx}$um den Wahrscheinlichkeitsstrom des einfallenden Strahls zu finden,$J_{inc}$

$$J_{inc} = \frac{i\hbar}{2m}\{A_o e^{ik_1x}(- A_oik e^{-ik_1x})-A_o e^{-ik_1x} A_oik e^{ik_1x}\}$$

$$= \frac{-2i^2|A_o|^2\hbar k_1}{2m}$$

$$J_{inc} = |A_o|^2 \frac{\hbar k_1}{m}$$

Folglich,$J_{refl}$Und$J_{trans}$sind ähnlich gegeben durch:

$$J_{refl} = -|B|^2\frac{\hbar k_1}{m}$$ $$J_{trans} = |C|^2\frac{\hbar k_2}{m} = (\frac{A_o2k_1}{k_1+k_2})^2 \frac{\hbar k_2}{m}$$

Schließlich der Transmissionskoeffizient$\mathcal{T}$finden Sie unter

$$\mathcal{T} = \frac{|J_{trans}|}{|J_{inc}|} = \frac{(\frac{A_o2k_1}{k_1+k_2})^2k_2}{|A_o|^2 k_1} = \frac{4k_1k_2}{(k_1+k_2)^2}$$

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Ich entschuldige mich für die Länge bis zu diesem Punkt, aber jetzt frage ich mich, ob ich einen Übertragungskoeffizienten schätzen kann$\mathcal{T}$für ein lineares Potential (mit$E>0$) wie im Diagramm, indem mehrere Stufenpotentiale entlang der Länge verwendet werden$L$. Das Einzelschrittpotential ist keine gute Annäherung, da es keine gibt$L$Abhängigkeit. Wenn ich also jetzt das durch die rote Linie im Diagramm angegebene Potential untersuche, erhalte ich

$$V(x) = \begin{cases} \quad 0 &\text{for $x<0$}\\ -|V_o|/3 &\text{for $0<x<L/3$}\\ -2|V_o|/3 &\text{for $L/3<x<2L/3$}\\ -|V_o| &\text{for $2L/3<x<L$, $x>L$}\\ \end{cases}$$

Wenn ich jetzt Randbedingungen auferlege$\psi$Und$\frac{d\psi}{dx}$Bei jeder der Abwärtsfunktionen wiederhole ich im Wesentlichen das oben Gezeigte, aber dreimal mit drei verschiedenen Übertragungsstrahlen, und wenn ich sehe, wie sich der Übertragungskoeffizient zwischen den einzelnen Bereichen ändert, kann ich einen Ausdruck für den Übertragungskoeffizienten selbst finden.

Gibt es einen einfacheren Weg, dies zu tun? Offensichtlich, wenn ich eine unendliche Anzahl von Stufenpotentialen durch Aufbrechen modelliere$L$Und$V_o$in unendliche Teile, würde dies eine ideale Näherung für ergeben$\mathcal{T}$. Gibt es eine Möglichkeit, dies mathematisch/numerisch oder sogar grafisch zu tun?