Betrachten wir einen Quantendipol-Hamiltonoperator
Ich glaube nicht, dass es einen analytischen Weg gibt, die Eigenwerte und Eigenvektoren des obigen Hamiltonain zu erhalten. Was wäre also der beste numerische Weg?
Ein einfacher Weg besteht darin, die Energiebasis des harmonischen Oszillators zu verwenden, die zu einer nichtdiagonalen Quantendipol-Hamilton-Matrix führt, und sie unter Verwendung von Standardroutinen zu diagonalisieren. Das Problem bei diesem Ansatz besteht darin, dass sogar um die ersten paar Energieniveaus und die entsprechenden Eigenvektoren genau zu erhalten, die Trunkierung der Basis für jeden harmonischen Oszillator sehr groß sein muss ~ . Daher zu groß ist problematisch aufgrund der starken Zunahme der Hilbert-Raumdimension, die nur ein Maximum von zulässt .
Ein anderer Ansatz mit ähnlichen Problemen könnte möglicherweise darin bestehen, den Hamiltonain in der Positionsbasis darzustellen.
Oder gibt es eine andere Alternative, die ich mir nicht angesehen habe, die dieses Problem vereinfachen und helfen würde, darüber hinauszugehen? ?
Kurz gesagt: nicht wirklich, nein. Quantenmechanische Vielteilchenprobleme sind einfach schwer, und wenn Sie die vollständige Lösung wollen, dann ist das Problem exponentiell schwer ; Sie können den Beginn der Schwierigkeiten vielleicht ein wenig verzögern, indem Sie die Dinge klug angehen, aber die Gewinne sind größer wird begrenzt sein.
Das "Schlausein" ist normalerweise eine Frage der Wahl einer Basis, die für das vorliegende Problem gut geeignet ist, und für Ihre Konfiguration ist die harmonische Oszillatorbasis wahrscheinlich keine solche, da die Basis keine Rücksicht darauf nimmt der eigentliche Hamiltonian des Problems. Dazu könnten Sie beispielsweise (i) das klassische Problem lösen, um die klassischen Gleichgewichtspositionen zu erhalten, und dann (ii) eine Reihe von verschobenen Zahlenzuständen an den klassischen Gleichgewichtspositionen auswählen (die dann (iii) müssen orthogonalisiert werden, idealerweise symmetrisch ) und diese als Grundlage verwenden. Oder eine Reihe anderer möglicher Schemata, um die besonderen Merkmale des Problems zu nutzen, um die Basisgröße zu reduzieren.
Letztlich unterscheidet sich dein Problem gar nicht so sehr von dem des Habens verschiedene Elektronen in einem Atom, die einem zentralen Potential unterliegen und miteinander wechselwirken, und das ist im Allgemeinen auch ein exponentiell schwieriges Problem. Wie gehen wir damit um? Indem wir in den (irrelevanten) Teilen des Hilbert-Raums, die wir aus der Berechnung herausschneiden, in einem zweistufigen Ansatz sehr drastisch vorgehen:
Erstens, indem ein Ansatz mit selbstkonsistentem Feld verwendet wird, um nach der optimalen Einzelpartikelbasis zu lösen, der normalerweise als Hartree-Fock-Methode bekannt ist . Hier ist die Idee, dass Sie nach dem Grundzustand auflösen, indem Sie vorgeben, dass alle Elektronen gleich sind, also beginnen Sie mit einer anständigen Vermutung für den Grundzustand, verwenden dies, um das mittlere Feldpotential zu berechnen, und lösen nach dem Grundzustand auf. Setzen Sie das als Mittelfeldpotential wieder ein und iterieren Sie, bis es (hoffentlich) konvergiert, möglicherweise gefolgt von einem Variationsansatz, bei dem Sie alle relevanten Parameter variieren, bis die Energie so niedrig wie möglich ist.
Dadurch erhalten Sie eine Hartree-Fock-Basis, dh einen Satz von Einzelteilchen-Orbitalen, die so viel wie möglich des diagonalen, unkorrelierten Teils der Wechselwirkung zwischen den Teilchen enthalten.
Danach nehmen Sie eine Reihe von Mehrteilchenkonfigurationen unter Verwendung der HF-Einzelteilchenorbitale. Man kann einfach alle nehmen und hat etwas, das formal exakt ist; Dies wird immer noch eine exponentielle Dimension haben, aber die Verbesserung der Basis könnte ausreichen, um zu einer vernünftigen Anzahl von Teilchen zu gelangen.
Wenn Sie dies jedoch ernst nehmen möchten, verwenden Sie normalerweise eine von mehreren Post-Hartree-Fock-Methoden , die im Wesentlichen versuchen, Konfigurationen herauszuschneiden, die für die Beschreibung nicht wesentlich sind, während Sie die Basis in den Richtungen erweitern, die am meisten bewirken Gut. Diese Klasse von Methoden ist in der Lage, einige ziemlich korrelierte Eigenzustände für bescheidene Rechenressourcen zu erfassen, aber sie erfordern viel Codierung, um richtig zu werden.
Im Allgemeinen ist das Vielteilchenproblem jedoch kompliziert, und obwohl jeder Zweig von QM, in dem es auftritt, seine Möglichkeiten hat, das daraus resultierende Durcheinander zu mildern, kämpfen sie alle nur einen polynomischen Kampf gegen eine exponentielle Skalierung.
Emilio Pisanty