Können wir die Proca-Aktion (Spin-1) aus der Dirac-Aktion (Spin-1/2) erzeugen?

Das, was Sie suchen, kommt dem, was Sie suchen, am nächsten, wenn Sie das Feld zerlegen$A_\mu$Verwendung von Zweikomponenten-Weyl-Spinoren; zeigt den Isomorphismus$SO(1,3) = SL(2,\mathbb{C})$, geht die Vektordarstellung der Lorentzgruppe ein$X \to P X P^\dagger$mit$X$der Komplex$2x2$dem Vektor zugeordnete Matrix$X^\mu$Und$P \in SL(2, \mathbb{C})$. Ausstellen der$SL(2, \mathbb{C})$explizit indiziert, wird das Feld$A_{a\dot{a}}$und die Feldgleichungen können in einer 2-Komponenten-Spinor-Notation geschrieben werden. Warren Siegel diskutiert diese Fragen ausführlich in seinem Text zur Feldtheorie.

Denken Sie daran, dass die Dirac-Gleichung Fermionen mit halbzahligem Spin beschreibt, wie Elektronen oder Quarks. Ein Proca-Lagrange beschreibt ein massives Boson mit Spin 1. Die Statistik, der diese beiden Arten von Teilchen folgen, ist unterschiedlich: Bosonen gehorchen der Bose-Einstein-Statistik, während Fermionen der Fermi-Dirac-Statistik gehorchen.

Aber 1 sollte nur sein$1/2⨁1/2$, ist es also möglich, die Proca-Wirkung aus der Kombination von Dirac-Wirkungen abzuleiten?

Die Antwort ist nein, denn die Proca-Aktion (oder Lagrange) und die Dirac-Aktion beschreiben zwei verschiedene Arten von Teilchen (und zwei sehr unterschiedliche mathematische Objekte). Der Proca-Lagrange beschreibt ein reelles Vektorfeld$A^{\mu}$während der Dirac- Lagrangian ein komplexwertiges 4-Komponenten- Spinorfeld beschreibt$\Psi$. Das Summieren von zwei Spinoren (zwei 1/2-Spin-Teilchen) würde zu einem Spinor führen, nicht zu einem Vektorfeld.

Mehr noch, die Lagrangians haben nicht einmal die gleichen Symmetrien! Beispielsweise ist die Proca-Lagrange-Funktion unter global nicht invariant$U(1)$Transformationen, während die Dirac Lagrangian ist.