Gebundene Zustände in QFT

Question

Gebundene Zustände in QFT

Rajat Mondal

Ich habe diesen Artikel über die Folgen der Invarianz unter Ladungskonjugationssymmetrie (insbesondere beim Positroniumzerfall) studiert , wo es in Abschnitt IV heißt

Die Zustandsfunktion jedes Zustands von Positronium kann in Bezug auf Zustandsfunktionen freier Teilchen erweitert werden.
$Ψ_{Positronium} = (\sum_{\vec{P}, S_{1}, S_{2}} C (\vec{P}, S_{1}, S_{2}) A_{S_{1}}^{*} (\vec{P}) B_{S_{2}}^{*} (- \vec{P}) + \sum_{R} . . . A_{R_{1}}^{*} A_{R_{2}}^{*} B_{R_{3}}^{*} B_{R_{4}}^{*} + . . .) Ψ_{vac}$ $\Psi_\text{positronium}=(\sum_{\vec p,s_1,s_2}c(\vec p,s_1,s_2)a_{s_{1}}^*(\vec p)b_{s_{2}}^*(-\vec p) +\sum_r...a_{r_{1}}^*a_{r_{2}}^*b_{r_{3}}^*b_{r_{4}}^*+...)\Psi_\text{vac}$ wobei der zweite Term den Effekt der virtuellen Paarproduktion darstellt.

Ich möchte etwas über die Art der ausgelassenen Begriffe wissen und sicherstellen, dass die Behauptung tatsächlich wahr ist. Es ist für mich verwirrend, weil uns in den Einführungsvorträgen gesagt wurde, dass die (freien) gebundenen Zustände von Kombinationen einiger oder aller möglichen Teilchen als separater Sektor des Fock-Raums im Sinne der Erzeugung und Vernichtung betrachtet werden sollten Operatoren für diese Zustände (Erzeugungs-/Vernichtungsoperator für Positroniumatome in diesem Fall) sind unabhängig von den Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren für die konstituierenden Teilchen. Und ich denke, das ist der Geist hinter Weinbergs Bemerkung (in seinem Buch der Quantentheorie der Felder) in Abschnitt 3.1:

Auch alle relevanten gebundenen Zustände im Spektrum von $H$ eingeführt werden soll $H_0$ als wären sie Elementarteilchen**

**Alternativ können wir bei nicht-relativistischen Problemen das Bindungspotential einbeziehen $H_0$ . Bei der Anwendung dieser Methode auf Umordnungskollisionen, bei denen einige gebundene Zustände im Anfangszustand, aber nicht im Endzustand oder umgekehrt auftreten, muss man eine andere Aufteilung von verwenden $H$ hinein $H_0$ Und $V$ im Anfangs- und Endzustand.

Eine andere verwandte Frage lautet: Sind der Positronium-Zerfallsprozess und der Paarvernichtungsprozess gleich?

Jeder Kommentar/Erklärung ist willkommen!

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Gebundene Zustände in QFT

Rajat Mondal · Answer 1

Walter Greiner versucht in seinem Text zur Feldquantisierung genau diesen Punkt in Beispiel 10.2 zu rechtfertigen:

Es ist sehr schwierig, eine genaue Beschreibung der gebundenen Zustände der zu finden $e^+e^-$ System, da dies auf die Lösung des relativistischen Zweikörperproblems hinauslaufen würde ...

Nach dem allgemeinen Prinzip der Lorentz-Invarianz ist der Zustandsvektor von Positronium $|Ps\rangle$ können durch die Eigenwerte der Operatoren klassifiziert werden $P^\mu$ , $\mathbf J^2$ Und $J^z$ . Dazu kommen noch die Operatoren der Rauminversion P und der Ladungskonjugation C, die mit der Menge der kinematischen Operatoren kommutieren. Die entsprechenden Eigenwerte sind
$\begin{matrix} (1) & P | P S ⟩ = π_{P} | P S ⟩, C | P S ⟩ = π_{C} | P S ⟩ \end{matrix}$ $P|Ps\rangle = \pi_P |Ps\rangle, C|Ps\rangle = \pi_C |Ps\rangle\tag{1}$ Wo $\pi_P = ±1$ bezeichnet Raumparität und $\pi_C = ±1$ bezeichnet die Ladungsparität. Nun machen wir folgenden Ansatz für den Zustandsvektor von Positronium im Schwerpunktsystem $(P = 0)$ : $\begin{matrix} (2) & | P S ⟩ = \int D^{3} \vec{P} \sum_{S, S^{'}} R (\vec{P}, S, S^{'}) B_{\vec{P}, S}^{†} D_{- \vec{P}, S^{'}}^{†} | 0 ⟩ \end{matrix}$ $|Ps\rangle=\int d^3\vec p\sum_{s,s'}R(\vec p,s,s')b^\dagger_{\vec p,s}d^\dagger_{-\vec p,s'}|0\rangle\tag{2}$ Wo $R(\vec p,s,s')$ ist die Wellenfunktion im Impulsraum. Hier $s$ Und $s'$ sind die Projektion der Elektronen- und Positronenspins auf die z-Achse. Der Zustand (2) enthält ein Elektron-Positron-Paar mit einem kombinierten Impuls von Null und ist eine Annäherung an den wahren gebundenen Zustand, da die Teilchenzahl in der QED keine Erhaltungsgröße ist. Im Allgemeinen höhere Multi-Pair-Konfigurationen mit Gesamtladung Null, wie z $b^\dagger b^\dagger d^\dagger d^\dagger|0\rangle$ usw. zum Zustandsvektor beitragen können. Bei Positronium sind solche Beimischungen jedoch sehr gering, was auf die im Wesentlichen nichtrelativistische Natur dieses Systems zurückzuführen ist. Zur Klassifizierung der gebundenen Zustände genügt es jedenfalls, den Ansatz (2) zu verwenden; alle komplizierten Mischungen höherer Ordnung hätten die gleichen Symmetrieeigenschaften.

Im Moment nehme ich dies als Erklärung, die mein bisheriges Verständnis ungültig macht

die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren für diese Zustände (Erzeugungs-/Vernichtungsoperator für Positroniumatome in diesem Fall) sind unabhängig von den Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren für die konstituierenden Teilchen.

Seitdem tauschen die Erzeugungsoperatoren des Positroniumatoms für das Positron und für das Elektron nicht mehr paarweise.

Alle zusätzlichen Anmerkungen/Erklärungen/Antworten sind willkommen!

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Rajat Mondal

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Rajat Mondal

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