Spinoren, Raumzeit und Clifford-Algebra

Ich möchte die intrinsische Verbindung verstehen, die die Clifford-Algebra zwischen Spinraum und Raumzeit herstellen lässt. Seit einiger Zeit versuche ich mir vorzustellen, wie die Clifford-Algebra in diese Geschichte passt, wobei die Mitglieder meiner Abteilung mir ständig sagen, "ich solle mir keine Sorgen machen". Ich denke jedoch, dass es etwas Tiefes zu entdecken gibt.

Die in der Dirac-Gleichung vorhandenen Gammamatrizen erzeugen eine Clifford-Algebra: { γ v , γ μ } = 2 η v μ ICH . Auf der Wikipedia-Seite zu Gammamatrizen wird argumentiert, dass diese Algebra die Komplexifizierung der Raumzeitalgebra ist: C l 1 , 3 ( C ) ist die Komplexierung von C l 1 , 3 ( R ) . Die hier gegebene Antwort ( Welche Rolle spielt die Raum-Zeit-Algebra? ) scheint darauf hinzudeuten, dass diese komplexe Struktur auf natürliche Weise aus der Zerlegung in Grade herausfällt C l 1 , 3 ( R ) . Ist dies der Fall?

Außerdem ist es so, dass man dann die erzeugten Gammamatrizen verwenden kann C l 1 , 3 ( C ) um die Lie-Algebra der Lorentz-Gruppe zu bilden, was mir das Bild vermittelt, dass diese Konstruktionen im Spinraum Raum-Zeit-Transformationen bilden können (wie hier skizziert: Beziehung zwischen der Dirac-Algebra und der Lorentz-Gruppe )?

Im Wesentlichen (glaube ich) stelle ich die Frage, ob die Clifford-Algebra einen globalen Raum einschließt, zu dem die Raumzeit und der Raum der Spinoren gehören - wenn ja, wie respektieren und verknüpfen dann die in der Dirac-Gleichung enthaltenen Gammamatrizen diese beiden Räume? Beschäftigten sich mit Algebren, tut aber die Isomorphie S Ö ( 1 , 3 ) ~ S U ( 2 ) X S U ( 2 ) hier ins Spiel kommen?

Ich bin kein Mathematiker von Beruf, aber ich denke, dass technische Antworten hier natürlich ins Spiel kommen werden – wenn die Leute versuchen könnten, an einer physikalischen Intuition festzuhalten, wäre das sehr willkommen. Die besten Wünsche an alle.

Danke für die nützlichen Links: ein paar Fragen, wenn es Ihnen nichts ausmacht. Ich habe oft gehört, dass Spinoren so verwirrend sind, weil sie die Quadratwurzel einer Geometrie darstellen. Ist das das, was Ihr Kommentar bezüglich der flachen Metrik, die von den Dirac-Matrizen erzeugt wird, einkapselt? Ich bin mir nicht sicher, was Ihr zweiter Link zu sagen versucht oder wie er sich bezieht. Könnten Sie ihn bitte aufschlüsseln? Danke schön.
Der zweite Link befasst sich mit dem entscheidenden Thema der Komplexifizierung der Raumzeitalgebra, das Teil Ihrer Frage ist.
Was die Bedeutung von "Quadratwurzel einer Geometrie" betrifft, gibt es eine andere Interpretation: Die Lorentz-Rotation eines Spinors ist einseitig als R ψ , im Gegensatz zu doppelseitig für einen Vektor R v R − 1 . Also a π Rotation eines Spinors zB e π γ 1 γ 2 ψ verwandelt sich in ein 2 π Drehung des Vektors e π γ 1 γ 2 v e − π γ 1 γ 2 = e 2 π γ 1 γ 2 v = v zum sagen v = γ 1 .

Antworten (2)

  1. Der Grund, warum wir die Clifford-Algebra normalerweise komplexisieren, ist meistens Bequemlichkeit: Die Darstellungstheorie komplexer Algebren ist im Allgemeinen einfacher, und wenn wir uns später aus irgendeinem Grund auf reelle Darstellungen beschränken wollen, können wir das immer tun. Insbesondere Dirac-Spinoren existieren zumindest in allen Dimensionen, während die "echten" Majorana-Spinoren von der Anzahl der Dimensionen und sogar von der Signatur abhängig sind (je nachdem, was genau Sie mit "Majorana" meinen), siehe auch diese Fragen und Antworten von mir .

  2. Der zweite Grad der Clifford-Algebra (komplex oder reell spielt hier keine Rolle) ist als Lie-Algebra isomorph zur Lorentz-Algebra (oder in der verallgemeinerten Version zur verallgemeinerten Clifford-Algebra für eine Metrik η hat die Isometrie-Algebra für diese Metrik als zweiten Grad). Nicht die „Gammamatrizen“ (= Generatoren der Clifford-Algebra, also insbesondere Elemente ersten Grades davon) erzeugen die Lorentz-Algebra, sondern deren Kommutatoren σ ich J = [ γ ich , γ J ] . (Es kann sein, dass Sie sich dessen bereits bewusst sind, aber dies ist ein häufiger Punkt der Verwirrung)

  3. Ich bin mir nicht ganz sicher, was Ihre Frage "kapselt die Clifford-Algebra einen globalen Raum, zu dem die Raumzeit und der Raum der Spinoren gehören" zu stellen versucht, aber lassen Sie mich auf diese vier Dimensionen hinweisen - wo man den ersten Grad identifizieren könnte von die Clifford-Algebra mit Raumzeit und den vierdimensionalen Dirac-Spinoren - ein "Unfall". Die Dirac-Spinor-Darstellung in D Abmessungen ist 2 ⌊ D / 2 ⌋ -dimensional, mit dem Sie sich nicht identifizieren können D -dimensionaler erster Grad der Algebra in den meisten anderen Dimensionen. Daher "enthält" die Clifford-Algebra im allgemeinen keine Spinoren.

  4. Schließlich und am tangentialsten gibt es keinen Isomorphismus S Ö ( 1 , 3 ) ≅ S U ( 2 ) × S U ( 2 ) , egal wie oft Sie diese Lüge in physikorientierten Texten lesen werden. Siehe z. B. diese Antwort von Qmechanic und die verknüpften Fragen für Details zur Beziehung zwischen den beiden Gruppen und ihren Algebren. Die Nussschale ist das S u ( 2 ) ⊕ S u ( 2 ) ist die kompakte reelle Form der Komplexbildung von S Ö ( 1 , 3 ) , daher sind die komplexen endlichdimensionalen Darstellungen dieser Algebren äquivalent, daher die projektiven Darstellungen der Gruppe S Ö ( 1 , 3 ) sind äquivalent gegeben durch S u ( 2 ) ⊕ S u ( 2 ) Darstellungen. (Warum projektive Darstellungen wichtig sind, finden Sie in diesen Fragen und Antworten von mir .)

Vielen Dank für die lehrreiche Antwort. Könnten Sie mir ein paar Dinge klarstellen (wieder denke ich, dass Physiker die Terminologie missbrauchen). Ich verliere mich ein wenig im Unterschied zwischen der reellen und der komplexen Darstellung: In welche Klasse fällt die Spinor-Darstellung oder ist es beides? Und damit ich weiß, dass ich folge, können die Gammamatrizen in der Dirac-Gleichung (die komplex sind) Kommutatoren bilden, die dann die Lorentz-Lie-Algebra erzeugen? Schließlich Ihr 3. Punkt; Der "Unfall" ist die Antwort auf meine Frage, haha, ein glücklicher Zufall, nehme ich an. Danke noch einmal.
@JackHughes Die Dirac-Darstellung ist komplex - ihre reale Version, falls vorhanden, ist die Majorana-Darstellung. Und ja, die Kommutatoren der γ -Matrizen sind die Generatoren der Lorentz-Algebra.
Gute Antwort! Nur eine Frage zu Punkt drei, letzter Satz: Werden Spinoren nicht als Minimalideale einer Clifford-Algebra betrachtet, so dass alle Clifford-Algebren Spinoren enthalten (oder zumindest für C L ( N , M ) Wo N + M denke ich sogar?).
@R.Rankin Es gibt viele nicht ganz gleichwertige Definitionen von "Spinor" in der Literatur, von einer sehr breiten (projektiven, aber nichtlinearen Darstellung von S Ö ( P , Q ) ) bis sehr eng (Dirac-Spinor, dh die irreduzible Darstellung der Clifford-Algebra). Ich habe noch nie von einem mit minimalen Idealen gehört.
@ACuriousMind Ich denke, es ist eine Standarddefinition von Spinoren, die auf Marcel Riesz und seine Arbeit an Repräsentationen zurückgeht. Gemäß Ihrem anderen Kommentar habe ich nach verschiedenen Möglichkeiten gesucht, das Spinor-Bündel einer Raumzeit zu betrachten

Hier ist ein einfacher Forschungspfad, den ich selbst verwendet habe, um Ihre Frage etwas zu beantworten ...

Sie können eine Clifford-Algebra leicht auf einen Raum mit einem nicht flachen metrischen Tensor erweitern. WENN Sie davon ausgehen, dass alle Elemente der Clifford-Objekte Tensoren sind und somit das Clifford-Objekt selbst ein Skalar ist (aus Tensorsicht), dann sind alle Ihre Gleichungen im Allgemeinen kovariant.

Dies können Sie zum Beispiel mit tun C l 1 , 3 und Verwenden des elektromagnetischen Feldvektors. Die Maxwell-Gleichungen in gekrümmter Raumzeit reduzieren sich dann auf:

∂ F = μ 0 J

Wo

F ≡ ∂ A

∂ ≡ γ μ ∂ ∂ X μ , A ≡ γ μ A μ

Um nun zu Spinoren zu gelangen, verwenden Sie Tetraden, um Ihre Generatoren als lineare Kombinationen der ursprünglichen flachen Generatoren (z. B. Dirac-Matrizen) neu zu schreiben, und Sie behandeln wieder jedes Element eines Objekts als Tensoren. Dies ermöglicht es Ihnen dann, eine allgemein kovariante Version der Dirac-Gleichung zu schreiben:

∂ Ψ = E 0 ℏ C Ψ γ 012

Der Trick, dies zu erweitern, besteht darin, daran zu denken, die Ableitungen der "flachen" Dirac-Matrizen durch kovariante zu ersetzen, die die Spin-Verbindung verwenden. Dies ist nur ein Trick, der Ihre Verwendung der Tetraden und das Ändern des "Rahmens" kompensiert.

Ich überspringe viele detaillierte Schritte, aber dies gibt Ihnen eine allgemein kovariante Gleichung für Spinoren.

Spinoren, Raumzeit und Clifford-Algebra
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