Reduzierbarkeit von Lorentz-Gruppengeneratoren im Gegensatz zu irreduzibler Gamma-Matrix-Darstellung

Nach Einführung der Gammamatrizen as

$$\gamma^0=-i \pmatrix{\begin{matrix} 0 & \Bbb I_{2x2} \\ \Bbb I_{2x2} & 0 \\ \end{matrix}} , \qquad \gamma^i=-i\pmatrix{\begin{matrix} 0 & \sigma^i \\ -\sigma^i & 0 \\ \end{matrix}}$$ wir können die Matrixdarstellung der Generatoren der homogenen Lorentzgruppe in der Spinordarstellung finden (dh$J^{\mu\nu}=-\frac{i}{4}[\gamma^{\mu},\gamma^{\nu}])$So: $$J^{ij}=\frac{1}{2}\varepsilon_{ijk}\pmatrix{\begin{matrix} \sigma^k & 0 \\ 0 & \sigma^k \\ \end{matrix}}\quad\text{ and }\quad J^{i0}=\frac{i}{2}\pmatrix{\begin{matrix} \sigma^i & 0 \\ 0 & -\sigma^i \\ \end{matrix}}.$$ Wir sehen, dass die Matrizen der Generatoren in dieser Form blockdiagonal sind, also ist die Darstellung reduzierbar. Andererseits wissen wir, dass 4x4-Gammamatrizen in der obigen Form eine irreduzible Darstellung der Lorentz-Gruppe liefern, da die maximale Anzahl antisymmetrischer unabhängiger Tensoren, die mit Gammamatrizen erstellt werden, 16 in der 4D-Raumzeit beträgt, also die minimale Dimensionalität zur Darstellung der Gammamatrizen sind bilden zumindest eine 4x4-Matrixdarstellung – weshalb die oben gezeigte Form eine irreduzible Darstellung liefert.

Wie können wir die Tatsache vereinbaren, dass die Generatoren$J$sind reduzierbar, während die 4x4-Gammamatrizen eine irreduzible Darstellung darstellen?