Fehlendes Identitätselement in der Clifford-Relation

Es kann einfacher sein, alles in Form von expliziten Indizes zu schreiben,

$$\gamma^\mu_{\alpha \beta} \gamma^\nu_{\beta \delta} + \gamma^\nu_{\alpha \beta} \gamma^\mu_{\beta \delta} = 2 \eta^{\mu\nu} \delta_{\alpha \delta}.$$ Es ist eine Summe über $\beta$auf der linken Seite. Wenn Sie explizite Werte für einfügen $\alpha$, $\delta$, $\mu$, Und $\nu$, beide Seiten sind nur Zahlen. Die Indizes $\mu$Und $\nu$sind Lorentz-Indizes, die die Lorentz-Transformationseigenschaften beider Seiten beschreiben. Die Indizes $\alpha$, $\beta$, Und $\delta$sind Spinor-Indizes, die sich auf andere Weise transformieren. Es ist ein völliger Zufall, von dem sie beide ausgehen $1$Zu $4$.

Sie können sehen, wie klobig das aussieht, also könnten wir die Spinor-Indizes einfach ausklammern,

$$(\gamma^\mu \gamma^\nu + \gamma^\nu \gamma^\mu)_{\alpha \delta} = 2 \eta^{\mu\nu} \delta_{\alpha \delta}.$$ Dann wird die Matrixmultiplikation auf der linken Seite implizit. Wir können noch einen Schritt weiter gehen und die Spinor-Indizes vollständig unterdrücken $$\gamma^\mu \gamma^\nu + \gamma^\nu \gamma^\mu = 2 \eta^{\mu\nu}.$$ Das Problem ist, dass die linke Seite immer noch eindeutig a ist $4 \times 4$Matrix im Spinorraum, aber die rechte Seite scheint überhaupt keine Spinorindizes zu haben. Sie sind da, aber es gibt keine einfache Möglichkeit, es zu zeigen. Du könntest schreiben $\eta^{\mu\nu} 1_4$auf der rechten Seite, aber das führt zu einiger Verwirrung, da es so aussieht $1_4$multipliziert $\eta^{\mu\nu}$. Sie können nicht angeben, dass es sich um eine Identitätsmatrix im Spinorraum handelt. Die übliche abgekürzte Notation ist nicht perfekt, aber sie ist eine der besten Optionen, die wir haben.

Lassen Sie uns versuchen, die Eigenschaften der zusammenzufassen$\gamma$-Matrizen und der metrische Tensor für den flachen Minkowski-Raum. Zuerst unsere$\eta^{\mu\nu}$kann durch die Matrix dargestellt werden

$$\eta^{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 1&0&0&0 \newline 0&-1&0&0\newline 0&0&-1&0\newline 0&0&0&-1 \\ \end{pmatrix}.$$

Sie interpretieren nun die$\eta^{\mu\nu}$als die$\mu\nu$-Komponente dieser Matrix. Es macht also keinen Sinn, das zu sagen$\eta^{00} = I_4$aber man kann daraus schließen, dass die$00$-Komponente Ihres metrischen Tensors ist identisch mit der$00$-Bestandteil von$I_4$($I^{00} = 1$).

Wenn Sie sich ansehen$(\gamma^\mu)^2$dann können Sie folgende Identität zeigen

$$2\eta^{\mu\mu}I_4=\{\gamma^\mu;\gamma^\mu\} = \gamma^\mu \gamma^\mu + \gamma^\mu \gamma^\mu = 2(\gamma^\mu)^2.$$

Für die nicht-diagonalen Elemente erhalten Sie ähnliches

$$2\eta^{\mu\nu}I_4=\{\gamma^\mu;\gamma^\nu\} = \gamma^\mu \gamma^\nu + \gamma^\nu \gamma^\mu = \gamma^\mu\gamma^\nu - \gamma^\mu\gamma^\nu = 0 \cdot I_4.$$

FWIW, ein ähnliches Problem tritt im CCR auf

$$[\hat{q}^j, \hat{p}_k]~=~i\hbar ~\delta^j_k \hat{\bf 1}$$

der Heisenberg-Algebra, wo Autoren oft den Identitätsoperator nicht schreiben$\hat{\bf 1}$ausdrücklich.