Verallgemeinern wir von vier Raum-Zeit-Dimensionen zu a$d$-dimensionale Clifford-Algebra $C$. Definieren

$$p~:=~[\frac{d}{2}], \tag{1}$$

wo$[\cdot]$bezeichnet den ganzzahligen Teil . Die Frage von OP wird dann

Warum muss die Dimension$n$einer endlichdimensionalen Darstellung$V$ein Vielfaches von sein$2^p$?

Nachweisen:

1. Wenn$C\subseteq {\rm End}(V)$und$V$beide real sind, können wir komplexieren, also können wir von nun an annehmen, dass sie beide komplex sind. Dann die Unterschrift von$C$ist irrelevant, und daher können wir genauso gut eine positive Signatur annehmen. Mit anderen Worten, wir gehen davon aus, dass wir gegeben sind$n\times n$Matrizen$\gamma_{1}, \ldots, \gamma_{d}$, das befriedigt

   $$\{\gamma_{\mu}, \gamma_{\nu}\}_+~=~2\delta_{\mu\nu}{\bf 1}, \qquad \mu,\nu~\in~\{1,\ldots, d\}.\tag{2}$$

2. Wir dürfen definieren

   $$\gamma_{\mu\nu}~:=~ \frac{1}{2}[\gamma_{\mu}, \gamma_{\nu}]_- ~=~-\gamma_{\nu\mu}, \qquad \mu,\nu~\in~\{1,\ldots, d\}. \tag{3}$$ Definieren Sie insbesondere$p$Elemente $$H_1, \ldots, H_p,\tag{4}$$ wie $$H_r ~:=~i\gamma_{r,p+r}, \qquad r~\in~\{1,\ldots, p\}.\tag{5}$$

3. Beachten Sie, dass die Elemente$H_1,\ldots, H_p$, (und$\gamma_d$wenn$d$ungerade ist), sind eine Menge von wechselseitig kommutierenden Involutionen

   $$[H_r,H_s]_- ~=~0, \qquad r,s~\in~\{1,\ldots, p\},\tag{6}$$ $$H_r^2 ~=~{\bf 1}, \qquad r~\in~\{1,\ldots, p\}.\tag{7}$$

4. Also nach dem Satz von Lie also$H_1,\ldots, H_p$, (und$\gamma_d$wenn$d$ungerade ist), muss einen gemeinsamen Eigenvektor haben$v$.

5. Seit$H_1,\ldots, H_p$sind Involutionen, ihre Eigenwerte sind$\pm 1$. Mit anderen Worten,

   $$H_1 v~=~(-1)^{j_1} v, \quad \ldots, \quad H_p v~=~(-1)^{j_p} v,\tag{8}$$ wo $$j_1,\ldots, j_p~\in ~\{0,1\} \tag{9}$$ sind entweder null oder eins.

6. Bewerben Sie sich als nächstes$p$erste Gammamatrizen

   $$\gamma^{1}, \gamma^{2}, \ldots, \gamma^{p}, \tag{10}$$ zum gemeinsamen Eigenvektor$v$, so dass $$v_{(k_1,\ldots, k_p)}~:=~ \gamma_{1}^{k_1}\gamma_{2}^{k_2}\cdots\gamma_{p}^{k_p} v, \tag{11}$$ wo die Indizes $$k_1,\ldots, k_p~\in ~\{0,1\} \tag{12}$$ sind entweder null oder eins.

7. Beachten Sie das als nächstes

   $$[H_r,\gamma_s]_-~=~0 \quad \text{if}\quad r~\neq~ s \mod p \tag{13}$$ und $$\{H_r,\gamma_r\}_+~=~0. \tag{14}$$ Es ist einfach zu überprüfen, ob die$2^p$Vektoren$v_{(k_1,\ldots, k_p)}$sind auch gemeinsame Eigenvektoren für$H_1,\ldots, H_p$. Im Detail, $$H_r v_{(k_1,\ldots, k_p)}~=~(-1)^{k_r+j_r}v_{(k_1,\ldots, k_p)}.\tag{15}$$

8. Beachten Sie, dass jeder Eigenvektor$v_{(k_1,\ldots, k_p)}$hat ein einzigartiges Muster von Eigenwerten für das Tupel$(H_1,\ldots, H_p)$, also die$2^p$Vektoren$v_{(k_1,\ldots, k_p)}$muss linear unabhängig sein.

9. Seit

   $$\gamma_{p+r}~=~ i H_r \gamma_r, \qquad r~\in~\{1,\ldots, p\}, \tag{16}$$ wir sehen das $$W~:=~{\rm span}_{\mathbb{C}} \left\{ v_{(k_1,\ldots, k_p)} \mid k_1,\ldots, k_p~\in ~\{0,1\} \right\} \tag{17}$$ ist ein invarianter Unterraum$W\subseteq V$zum$C$.

10. Dies zeigt, dass jede irreduzible komplexe Darstellung eines Komplexes ist$d$-dimensionale Clifford-Algebra ist$2^p$-dimensional.

11. Schließlich glauben wir (haben es aber nicht überprüft), dass es sich um eine endlichdimensionale Darstellung handelt$V$einer komplexen Clifford-Algebra ist immer vollständig reduzierbar, dh eine endliche Summe irreduzibler Darstellungen, und damit die Dimension$n$von$V$muss ein Vielfaches von sein$2^p$.$\Box$

Intuitive Erklärung

Vorab: Ein Vektor hat viele Komponenten als Elemente der Vektorraumbasis.

Eine Clifford-Algebra-Basis wird durch alle (unabhängigen) Produkte der Generatoren erzeugt (in Diracs Gleichungsfall sind dies die$\gamma$'s).

Das Zählen

Es gibt genauso viele$\gamma$als Dimension der Raumzeit, und laut Definition beinhaltet die Algebra eine Einheit,

$$\bigl\{\gamma^a,\gamma^b\bigr\} = 2 \eta^{ab}\mathbf{1}.$$

Für jedes zusätzliche Element besteht die neue Basis aus den vorherigen Basiselementen plus dem Produkt jedes dieser Elemente durch das zusätzliche Element. Dies ist die neue Basis, die doppelt so viele Elemente enthält. Deswegen,

$$\dim(\mathcal{C}\ell(n)) = 2^{n}.$$

Um diese Algebra darzustellen braucht man "Matrizen" von$2^{n/2}\times 2^{n/2}$, was für gerade dimensionale Raumzeiten nicht schlecht ist.

Wie gesagt, das Problem (das ich nicht demonstrieren möchte) kommt mit ungeraddimensionalen Raumzeiten ... aber, wieder intuitiv, diese Algebra kann durch zwei Kopien der Co-Dimension eine Algebra dargestellt werden, dh eine Dimension weniger. Aus diesem Grund ist die minimale Dimensionalität für die Darstellung der$\gamma$ist

$$\dim(\gamma) = 2^{\lfloor n/2\rfloor}\times 2^{\lfloor n/2 \rfloor}.$$

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Wenn Sie sich fragen, ob man eine größere Darstellung der finden kann$\gamma$'s, lautet die Antwort JA, aber Sie werden am Ende entweder eine nicht grundlegende oder eine triviale Erweiterung erhalten.

Das ist eine gute Frage. Um dies zu beantworten, beginnen wir mit der von Clifford generierten Algebra$\gamma$Matrizen.

$$\begin{equation} \gamma_{\mu}\gamma_{\nu}+ \gamma_{\mu}\gamma_{\nu}=2\eta_{\mu\nu} \end{equation}$$ mit$\mu,\nu=0,1,2,\cdots N$mit der metrischen Signatur$\eta_{\mu\nu}=\text{diag}(+,-,-,-,\cdots,-)$. Verwenden$I$und$\gamma_{\mu}$Wir können eine Reihe von Matrizen wie folgt konstruieren $$\begin{equation} I, \gamma_{\mu},\gamma_{\mu}\gamma_{\nu}\quad(\mu<\nu), \gamma_{\mu}\gamma_{\nu}\gamma_{\lambda}\quad(\mu<\nu<\lambda),\cdots,\gamma_{1}\gamma_{2}\cdots\gamma_{N}. \end{equation}$$

Es gibt

$$\begin{equation} \sum_{p=0}^{N}\binom{N}{p} = 2^{N} \end{equation}$$ solche Matrizen. Rufen wir sie an$\Gamma_{A}$, wo$A$läuft von$0$zu$2^{N}-1$. Nun lass$\gamma_{\mu}$sind$d\times d$dimensionale irreduzible Matrizen. Unser Ziel ist es, eine Beziehung zwischen zu finden$d$und$N$. Zu diesem Zweck definieren wir eine Matrix $$\begin{equation} S = \sum_{A=0}^{2^N-1}(\Gamma_{A})^{-1}Y\Gamma_{A} \end{equation}$$ . Wo$Y$ist etwas willkürlich$d\times d$Matrix. Daraus folgt $$\begin{equation} (\Gamma_{B})^{-1}S\Gamma_{B} = \sum_{A=0}^{2^N-1}(\Gamma_{A}\Gamma_{B})^{-1}Y\Gamma_{A}\Gamma_{B} =\sum_{C=0}^{2^N-1}(\Gamma_{C})^{-1}Y\Gamma_{C}=S \end{equation}$$ Wo wir verwendet haben$\Gamma_{A}\Gamma_{B}=\epsilon_{AB}\Gamma_{C}$, mit$\epsilon_{AB}^{2}=1$

Somit

$$\begin{equation}S\Gamma_{A}=\Gamma_{A}S\end{equation}$$ Seit$S$mit allen Matrizen in der Menge kommutiert, schließen wir das aus Schurs Lemma$S$muss proportional zur Identitätsmatrix sein, damit wir schreiben können $$\begin{equation} S = \sum_{A=0}^{2^N-1}(\Gamma_{A})^{-1}Y\Gamma_{A} = \lambda I \end{equation}$$

Auf der Spur bekommen wir

$$\begin{eqnarray} \text{Tr} S & = & \sum_{A=0}^{2^N-1} \text{Tr} Y = \lambda d\\ \Rightarrow \lambda & = & \frac{2^{N}}{d}\text{Tr} Y \end{eqnarray}$$ oder $$\begin{equation} \sum_{A=0}^{2^N-1}(\Gamma_{A})^{-1}Y\Gamma_{A} = \frac{2^{N}}{d}\text{Tr} Y \end{equation}$$

Unter der$(j; m)$Matrixelement beider Seiten der letzten Gleichung ergeben

$$\begin{equation} \sum_{A=0}^{2^N-1}((\Gamma_{A})^{-1})_{jk}(\Gamma_{A})_{km} = \frac{2^{N}}{d}\delta_{jm} \delta_{kl} \end{equation}$$ wo$j; k; l; m = 1; 2;\cdots; d$und wir haben die Tatsache ausgenutzt, dass Y beliebig ist$d \times d$Matrix. Wenn wir setzen$j = k; l = m$und über diese beiden Indizes summieren, das ergibt $$\begin{equation} \sum_{A=0}^{2^N-1} \text{Tr}[(\Gamma_{A})^{-1}] \text{Tr}[\Gamma_{A}] = 2^{N}\end{equation}$$ Es sind zwei Fälle zu betrachten, nämlich$N$sogar und$N$seltsam. Zum$N = 2M$(eben),$\text{Tr} \Gamma_{A} = 0$ausser für$\Gamma_{0} = 1$wofür$\text{Tr} \Gamma_{0} = d$. Was gibt $$\begin{equation} d^2 = 2^N\qquad \text{or} \quad \boxed{d = 2^{N/2}} \end{equation}$$ Dies ist das Hauptergebnis. Für die vierdimensionale Minkowski-Raumzeit$N=4$folglich ist die Dimension der irreduziblen Repräsentation$d = 2^{4/2} =4$.

Ein rigoroser Beweis für die Dimensionalität von$\gamma$Matrizen stammen aus der Gruppendarstellungstheorie. Es geht darum, die irreduzible Darstellung der Clifford-Algebra zu finden. Ein kürzlich erschienenes Buch von Ashok Das über Gruppentheorie diskutierte dies sehr ausführlich. Ein Etair-Kapitel dieses Buches, das der Suche nach der Darstellung der Clifford-Algebra sowohl in gerader als auch in ungerader Richtung gewidmet ist. Siehe Seite Nr. 162 für die Prrof.

Ein netter und niedlicher Beweis wurde von Peter West geliefert

http://arxiv.org/abs/hep-th/9811101 .

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