Welche Transformation ergibt eine Weyl-ähnliche Darstellung durch Spiegeln von γ0γ0\gamma^0 und γ5γ5\gamma^5?

Die übliche Weyl-Darstellung der Dirac-Matrizen ist wie folgt definiert:

$$\tag{1}\gamma_W^a = T_W \, \gamma^a \, T_W^{-1},$$ Wo $$\begin{align}\tag{2} T_W &= \frac{1}{\sqrt{2}} (1 + \gamma^5 \, \gamma^0), & T_W^{-1} &= \frac{1}{\sqrt{2}} (1 - \gamma^5 \, \gamma^0) \equiv T_W^{\dagger}. \end{align}$$ Wir erhalten dann eine Art Drehung im Raum der Dirac-Matrizen (beachten Sie die Anmeldung$\gamma_W^5$): $$\begin{align}\tag{3} \gamma_W^0 &= \gamma^5, &\gamma_W^i &= \gamma^i, &\gamma_W^5 &= -\, \gamma^0. \end{align}$$ Dies ist die Weyl-Darstellung der Dirac-Matrizen.

Jetzt frage ich mich, ob es eine ähnliche Transformation gibt, die ein Umdrehen von durchführen würde$\gamma^0$Und$\gamma^5$, statt einer Drehung in der$(\gamma^0, \, \gamma^5)$"Ebene". Ich suche eine Matrix$V$(wahrscheinlich einheitlich) so dass

$$\begin{align} \gamma_V^0 &= V \, \gamma^0 \, V^{-1} = \gamma^5, \tag{4} \\[1ex] \gamma_V^i &= V \, \gamma^i \, V^{-1} = \gamma^i, \tag{5} \\[1ex] \gamma_V^5 &= V \, \gamma^5 \, V^{-1} = \gamma^0. \tag{6} \end{align}$$ Ist eine solche Transformation unter Verwendung einer einheitlichen Matrix möglich?$V$? Wie können wir es explizit finden?

Transformationen (4) und (6) implizieren, dass beide$\gamma^0$Und$\gamma^5$pendeln mit der Matrix$V^2 \equiv V \, V$:

$$\begin{align}\tag{7} V^2 \, \gamma^0 &= \gamma^0 \, V^2, & V^2 \, \gamma^5 &= \gamma^5 \, V^2. \end{align}$$ Meine Intuition sagt mir, dass es keine einheitliche Matrix gibt$V$befriedigend (4)-(6), aber ich liege wahrscheinlich falsch. Die Anmeldung (3) kotzt mich an!