Was bedeutet Λ−112γμΛ12=ΛμμνγνΛ12−1γμΛ12=Λμνμγν\Lambda^{-1}_{\frac{1}{2}}\gamma^\mu\Lambda_{\frac{1}{2}}=\Lambda^ \mu_{\phantom{\mu}\nu}\gamma^\nu meinst du?

Normalerweise, wenn wir ein Objekt mit einem griechischen Index wie sehen$\gamma^\mu$, nehmen wir an, dass das Objekt die Komponenten eines Vektors enthält und dass die Art und Weise, es zu drehen, eine Summe über den Index beinhaltet$\mu$. Seit$\{\gamma^0, \gamma^1, \gamma^2, \gamma^3\}$Matrizen sind, können wir sie transformieren, indem wir sie mit Matrizen von links und rechts multiplizieren. Sie sind so gewählt, dass die Matrixmultiplikation mit einer bestimmten Matrixform von links und ihrer Inversen von rechts mit einer Transformation der Form zusammenfällt$\Lambda^\mu_{\phantom\mu\nu} \gamma^\nu$, als ob die$\gamma^\mu$waren Bestandteile eines Vektors. (Sind sie nicht; sie sind eher wie Wegweiser, die den Ableitungsoperatoren mitteilen$\sum_\mu \gamma^\mu \partial_\mu$welche Komponenten des rechten Feldes tatsächlich in welche Richtung zeigen$x^\mu$erhöht sich.)

Gleichzeitige Rotation bedeutet Transformation mit der Summation über den griechischen Index und gleichzeitige Multiplikation mit Matrizen:

$\sum_\nu \Lambda^\mu_{\phantom\mu\nu}(\Lambda_{\tfrac12}\gamma^\nu \Lambda_{\tfrac12}^{-1}) = \gamma^\mu$

Es ist gleichbedeutend mit Drehen/Boosten in eine Richtung und dann Umkehren.

$γ$ist eine injektive Abbildung aus$\mathbb R^{1,3}$in die Clifford-Algebra von$\mathbb R^{1,3}$, die jeden Vektor zu sich selbst nimmt. Da es sich um eine lineare Abbildung handelt, können Sie sie sich als Rang-2-Tensor vorstellen. Passend interpretiert ist es der Identitätstensor, also lässt ihn eine äquivalente Transformation auf beiden Seiten unverändert. Das ist im Wesentlichen das, was diese Gleichung sagt, wenn auch auf verwirrende Weise.

Die Clifford-Algebra von$\mathbb R^{1,3}$ist ein hübsches mathematisches Objekt, das von Dirac in einer ziemlich hässlichen Form neu erfunden wurde. Abstrakt ist eine Clifford-Algebra eine freie nichtkommutative Algebra von Vektoren aus einem normierten Vektorraum Modulo S+S- und V+V-Addition, SS- und SV-Multiplikation und V²-Quadrat- ^Norm . Daraus können Sie alle anderen Eigenschaften ableiten, einschließlich der Existenz von Matrixdarstellungen wie der von Dirac.

Sie kann als Spiegelungsalgebra verstanden werden, in der ein Vektor eine Spiegelung durch eine zu sich selbst senkrechte Hyperebene darstellt und Produkte von Vektoren Zusammensetzungen von Spiegelungen darstellen. Jede Rotation in einer Ebene kann als Komposition zweier Spiegelungen geschrieben werden. Wenn Sie einen der Spiegel um 180° drehen, reflektiert er in die gleiche Richtung wie zuvor, aber seine Normale zeigt in die entgegengesetzte Richtung, sodass die entsprechende Drehung (um 360°) einen Faktor von aufnimmt$-1$in der Clifford-Algebra. Dies ist der geometrische Grund für die doppelte Abdeckung.

Aus der Interpretation als Spiegelungsalgebra kann man, wenn man sie als richtig annimmt, ableiten, dass Spiegelungen durch Konjugation auf Vektoren wirken und damit auch Spiegelungsprodukte, einschließlich aller Rotationen.

$Λ_\frac12$ist eine Darstellung einer beliebigen Drehung in$\mathbb R^{1,3}$als Produkt von zwei oder vier Vektoren. Wenn Sie denken$γ^μ$als vierbein, dann Konjugation by$Λ_\frac12$dreht jeden seiner Vektoren unabhängig voneinander. Auf der anderen Seite,${Λ^μ}_νγ^ν$behandelt$γ$als Orthonormalbasis für$\mathbb R^{1,3}$(obwohl es wirklich aus Clifford-algebraischen Vektoren besteht, nicht aus 4-Vektoren), und transformiert es, indem es sie mischt. Das Ergebnis ist in beiden Fällen dasselbe.

Dies ist nur ein Beispiel für eine wichtige Eigenschaft der Tensoroperatoren der GL(N)-Lie-Gruppe. Es bedeutet, dass der Tensoroperator$\gamma^{\mu}$transformiert sich wie ein 4-Vektor unter Konjugation.

Bitte lesen Sie meine Antwort auf " Bilden die Dirac-Matrizen einen richtigen Vierervektor? ", die hier vielleicht besser gepostet worden wäre.