Wigner-Beweis für die Nichtexistenz einer endlichen einheitlichen Darstellung der Lorentz-Gruppe

Lassen Sie, wie in Wigners Artikel,$D$sei eine endliche einheitliche Darstellung der Lorentz-Gruppe. Das beweisen wir$D$ist trivial. Als$D$ist eine Darstellung, die deine obige Formel ergibt

$$D(M(\alpha))\,D(\Lambda(\gamma))\,D(M(\alpha))^{-1}=D(\Lambda(\alpha\gamma)).$$ Insbesondere die unitären Matrizen $$D\Lambda(\gamma)\quad \mathrm{and}\quad D\Lambda(\alpha\gamma)$$ haben für alle reellen Zahlen dieselbe endliche Menge von Eigenwerten$\alpha$Und$\gamma$.

Wigner konstruiert die Lorentz-Transformationen$\Lambda(\gamma)$, für einen reellen Parameter$\gamma$, Sodass

$$\Lambda(\gamma)\Lambda(\gamma')= \Lambda(\gamma+\gamma').$$ Insbesondere das Substituieren$\frac12\gamma$für$\gamma$Und$\gamma'$, hat man $$\Lambda(\tfrac12\gamma)^2=\Lambda(\tfrac12\gamma+\tfrac12\gamma)=\Lambda(\gamma),$$ dh,$\Lambda(\tfrac12\gamma)$eine Quadratwurzel-Lorentz-Transformation von ist$\Lambda(\gamma)$. Daher ist die Menge der Eigenwerte von$D\Lambda(\tfrac12\gamma)$ist eine Menge von Quadratwurzeln der Menge von Eigenwerten von$D\Lambda(\gamma)$, als$D\Lambda(\frac12\gamma)$ist diagonalisierbar. Wie wir jedoch oben gesehen haben, ist die Menge der Eigenwerte von$D\Lambda(\tfrac12\gamma)$ist auch gleich der Menge der Eigenwerte von$D\Lambda(\gamma)$. Daraus folgt, dass die endliche Menge von Eigenwerten von$D\Lambda(\gamma)$enthält eine Quadratwurzel von jedem seiner Elemente. Daher ist der einzige Eigenwert von$D\Lambda(\gamma)$Ist$1$, Und$D\Lambda(\gamma)$ist die Identität. Da die generischen Elemente der Lorentz-Gruppe von der Form sind$\Lambda(\gamma)$, die Repräsentation$D$ist trivial.